1. Begrepp

I sannolikhet talar vi om utfall, saker som sker. Vi delar in den i sådana som vi vill att skall ske, gynnsamma utfall, och totala utfall.

Om vi har två svarta och tre vita kulor i en urna och drar slumpmässigt en kula är sannolikheten för att få en svart \(\frac{\textrm{gynnsamma}}{\textrm{totala utfall}}=\frac{2}{5} = 0,40\). För de vita gäller igen \(\frac{\textrm{gynnsamma}}{\textrm{totala utfall}}=\frac{3}{5} = 0,60\).

Vi kan antingen tala om sannolikheten som \(\frac{2}{5}\), av fem kulor är två svarta, eller som \(0,40\), av 100 kulor är 40 svarta.

Vi märker att summan av sannolikheterna är ett, \(0,40 + 0,60 =1,00\). Sannolikheten för en händelse rör sig mellan noll och ett. Är sannolikheten lika med noll kommer den inte att ske och är sannolikheten ett kommer den med säkerhet att ske.

Vi talar om att sannolikheten och komplementet för sannolikheten alltid har summan 1.

Exempel 1 Vi singlar slant tre gånger. Bestäm sannolikheten att vi

  1. får två gånger klave,
  2. får högst två gånger klave.

Lösning

Det är ingen skillnad om vi singlar tre slantar samtidigt eller om vi signar en slant tre gånger efter varann. Vi tar och skriver upp alla möjliga fall i en tabell.

Kast 1 Kast 2 Kast 3
3 gånger klave klave klave klave
2 gånger klave klave klave krona
  klave krona klave
  krona klave klave
1 gång klave klave krona krona
  krona klave krona
  krona krona klave
ingen klave krona krona krona

Vi märker att vi kan få två stycken klavar på tre olika sätt. Totalt finns det åtta fall, sannolikheten för två gånger klave \(\frac{3}{8}\).

Om vi skall ha högst två stycken klavar skall vi ha noll, ett eller två stycken. Vi har totalt 1 + 3 + 3 olika sätt och sannolikheten är \(\frac{1+3+3}{8} =\frac{7}{8}\).

Vi kan också arbeta med komplementsannolikheten, det att vi skall ha mer än tre stycken klavar. Sannolikheten för tre klavar är \(\frac{1}{8}\) och vi vill ha komplementet för det, \(1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\).

Exempel 2 Koefficienterna för ett polynom av första graden, \(f(x)=ax+b\), bestäms med tärning. Bestäm sannolikheten att

  1. \(f(3)=12\)
  2. \(f(3)<12\)

Lösning

\(f(3)=12\) betyder för vår del att \(f(3)=a\cdot 3 + b = 12\). Vi bildar en tabell över olika värden som tärningarna ger vår funktion.

Vi har två fall som ger summan 12. Sannolikheten är \(\frac{2}{36} = 0,06\).

För mindre än 12 har vi 13 fall. Sannolikheten är \(\frac{13}{36}=0,36\).

Uppgifter

  1. Vi kastar en vanlig sexsidig tärning. Kryssa för rätt uttryck med rätt sannolikhet.
    Påstående 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6
    Sannolikheten att få en trea är
    Sannolikheten att få ett jämt tal är
    Sannolikheten att få en femma är
    Sannolikheten att få ett tal som är mindre än tre är
    Sannolikheten att få ett tal som är större eller lika med fyra är
  2. I en urna finns 10 klot. 4 är svarta, 2 är vita och resten är röda. Bestäm sannolikheten, som decimaltal, för att vi slumpmässigt drar en kula som är
    1. svart
    2. vit
    3. röd
    4. svart eller vit
    5. inte vit
  3. Bestäm sannolikheten för händelserna då vi drar ett kort ur en normal kortpacke. Vi låter esset ha värdet 1.
    1. Att kortet är spader.
    2. Att valören är mindre än 5.
    3. Att valören är antingen 7 eller 9.
    4. Att valören är 5 eller högre.
  4. Vi singlar slant en gång. Vilken är sannolikheten att vi får krona? Vilka av följande påståenden gäller?
    Påstående Sant Falskt
    När vi singlar slant så är var annat kast krona.
    Då vi singlar slant två gånger får vi i en av kasten en krona.
    Då vi singlar slant 100 gånger får vi 50 kronor.
    Då vi singlar slant 100 gånger är ca 50 % av fallen kronor.
  5. I en undersökning om vad de gör på sin fritid svarade 299 gymnaster som följande: 102 idrottar, 89 musicerar och 108 idrottar och musicerar.
    1. Hur många idrottar på sin fritid?
    2. Hur många håller på med musik på sin fritid?
  6. *Koefficienterna för ett polynom av första graden, \(f(x)=ax+b\), bestäms med tärning. Bestäm sannolikheten att
    1. \(f(-1)=2\).

    2. \(f(-1)>2\).
  7. *Koefficienterna för ekvationen för linjen \(ax+by=4\) lottas med tärning. Bestäm sannolikheten att linjen går genom punkten \((1,1)\).