10. Betingad sannolikhet

Om du inte är bekant med mängdlära från tex kurs 11 så rekommenderas att du börjar med kapitel 6.1.

Anna, Bertil, Cecilia och Daniel grubblar igen. De skall resa på solsemester och funderar på sannolikheten att det kommer att regna väl framme under en slumpmässigt vald dag.

För semesterorten gäller att sannolikheten för lågtryck är 0,1, ostadigt 0,2 och sannolikheten för högtryck är 0,7.

Vi skiver sannolikheterna som

P(lågryck) = 0,1
P(ostadigt) = 0,2
P(högtryck) = 0,7

Vidare inför vi en sannolikhet för regn. Om det regnar är beroende av vädertypen, vi talar om betingad sannolikhet.

P(regn | lågtryck)= 0,6
P(regn | ostadigt)= 0,3
P(regn | högtryck)= 0,1

Vi tolkar raderna så att sannolikheten för regn då det är lågtryck är 0,5.

För att bestämma sannolikheten för att det regnar på en slumpmässig dag gör vi en tabell.

Vädertyp Lågtryck (0,1) Ostadigt (0,2) Högtryck (0,7)
  Ej regn (0,4) Regn (0,6) Ej regn (0,7) Regn (0,3) Ej regn (0,9) Regn (0,1)
Sannolikheter:   \(0,1 \cdot 0,6\)   \(0,2\cdot 0,3\)   \(0,7 \cdot 0,1\)

Vår sökta sannolikhet blir den totala sannolikheten för regn: \(0,1 \cdot 0,6+0,2\cdot 0,3 +0,7 \cdot 0,1= 0,19\).

Matematiskt betecknar vi betingade sannolikheter som P(A|B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\). Vi är intresserade av att veta hur stor andel A utgör av B.

I exemplet ovan kan vi gå uppifrån ner och lösa problemet. Oftast är livet inte så lätt och inom sannolikhetsläran utnyttjar vi Bayes sats för att lösa sannolikhets problem där vi vill gå baklänges.

Antag att Anna, Bertil, Cecilia och Daniel är på sin semesterort. En morgon vaknar de till att det regnar. Vilken är sannolikheten att det är högtryck ute?

Lösning

Vi använder oss av samma beteckningar som ovan. Nu är vi intresserade av P(högtryck|regn).

Vi kan skriva P(högtryck|regn) = \(\frac{\textrm{P(högtryck och regn)}}{\textrm{P(regn)}} \\ = \frac{\textrm{P(regn och högtryck)}}{\textrm{P(regn och lågtryck)}+\textrm{P(regn och ostadigt)}+\textrm{P(regn och högtryck)}}\).

Den sökta sannolikheten är \(\frac{0,7\cdot0,1}{0,1\cdot0,6 + 0,2\cdot 0,3 + 0,7\cdot 0,1} = 0,3684\).

Sannolikheten att det är högtryck ute är 0,37.

Uppgifter

  1. 12,6 % av alla män och 9,9 % av alla kvinnor är vänsterhänta. Vi studerar en population som består av 45 % män och 55 % kvinnor. Från populationen väljs slumpmässigt en person. Bestäm sannolikheten för att personen är
    1. en vänsterhänt kvinna
    2. vänsterhänt
    3. en kvinna om vi vet att personen är vänsterhänt.
  2. I en fabrik där man tillverkar lampor finns det tre produktionslinjer. Linje 1 producerar 35 %, linje 2 producerar 40 % och linje 3 producerar 25 % av alla lampor. Av lamporna som produceras vid linje 1 är 3 % defekta. För linje 2 gäller 4 % och linje 3 är 6 % defekta. Bestäm sannolikheten för att
    1. en slumpmässigt vald lampa är defekt?
    2. en lampa som är defekt kommer från linje 1.
  3. *På ett cigarettpaket läser vi följande: ”Nio av tio strupcancerpatienter är rökare”. Anta att detta påstående är korrekt samt att i befolkningen är 10 % rökare och att 0,1 % av hela befolkningen drabbas av strupcancer. Vad är sannolikheten att en rökare drabbas av strupcancer?
  4. *Låt oss anta att 0,40 % av befolkningen drabbas av en form av cancer. Ett diagnostiskt test ger positivt resultat i 99,5 % av fallen om en individ har cancer och ger positivt resultat i 1 % av fallen om en individ inte har cancer. Då vi plockar på måfå en vuxen individ ur en stor population ger testet ett positivt resultat, vad är sannolikheten för att individen har den aktuella formen av cancer?