11. Mängdlära

Inom matematiken talar vi emellan om mängder. Vissa saker kan var lättare att förstå genom att rita upp mängderna. Exempel på en mängd är: äppel, päron, banan, apelsin och kiwi. Ur en mängd framkommer inte mängden element, enskilda saker, som finns i mängden. Mängerna äppel, päron, banan, banan, apelsin och kiwi och äppel, äppel, äppel, päron, banan, apelsin och kiwi representeras av samma mängd: äppel, päron, banan, apelsin och kiwi.

Mängden som består av äppel, päron, banan, apelsin och kiwi betecknas {äppel, päron, banan, apelsin, kiwi}.

För mängder finns ”räkneregler” som gör att vi kan arbeta med mängderna. För att illustrera bättre vad vi har använder vi oss av Venn diagram, uppkallade efter John Venn.

Vi tar två mängder: A = {äppel, päron, banan, apelsin}, B = {päron, apelsin, kiwi}.

Unionen av A och B, \(A \cup B\) är alla deras element: { äppel, päron, banan, apelsin, kiwi}.

Snittet av A och B, \(A \cap B\) är de element som de har gemensamt: {päron, apelsin}.

Mängder kan ha relationer till varandra, en mängd kan vara en del av en större mängd. Låt A = {äppel, päron, banan, apelsin, kiwi} och B = {äppel, banan}. Då är \(B \subset A\), B är en delmängd av A.

Vi låter mängderna A och B vara som ovan. Om vi tar komplementet av B i A så får vi de element i A som inte finns i B, {päron, apelsin, kiwi}. Komplementet betecknar vi med \(\overline{A}\).

Uppgifter

  1. Låt A = {a, b,c}, B={b,c,d} och C={c,d,e}. Vilken mängd beskriver uttrycket?
    Påstående {d} {b, c} {c, d} {a, b, c, d} {b, c, d, e}
    \(A \cup B\)
    \(A \cap B\)
    \(A \cap B\cap C\)
    \(B \cup C\)
    \((A \cup B) \cap C\)
    \(A \cup (B \cap C)\)
  2. Kombinera rätt beteckning med rätt Venn diagram.

    Välj bland uttrycken: \(A \cup B\), \(\overline{A \cap B}\), \(\overline{A \cup B}\), \(\overline{A} \cup B\), \(A \cap B\) och \(A \cup \overline{B}\).