12. Upprepat försök

Bertil sår blommor. På påsen står att fröna gror med sannolikheten 0,95 %. Han sår 10 st frön. Han funderar på sannolikheten för att minst 9 frön gror.

Sannolikheten att minst 9 frön gror betyder att 9 eller 10 frön gror.

Har vi 9 frön som skall gro skall 1 frö inte gro. Sannolikheten för att ett frö gror är 0,95 och att det inte gror är 1-0,95=0,05. Sannolikheten för att 9 frön gror och 1 inte gror är \(0,95 \cdot 0,95 \cdot 0,95 \cdot 0,95 \cdot 0,95 \cdot 0,95 \cdot 0,95 \cdot 0,95 \cdot 0,95 \cdot 0,05 = 0,95^9 \cdot 0,05\).

Dessa kombinationer kan vi bilda på \({10 \choose 9}\) olika sätt. Betyder att sannolikheten för att 9 frön gror är \({10 \choose 9}0,95^9 \cdot 0,05\).

På motsvarande sätt bildar vi sannolikheten för att alla 10 frön gror. Sannolikheten att 10 frön gror och 0 inte gror är \(0,95^{10}\cdot 0,05^0\).

Dessa 10 frön kan vi bilda på \( {10 \choose 10}=1\) olika sätt.

Vi får alltså sannolikheten för att minst 9 frön gror är \({10 \choose 9}0,95^9 \cdot 0,05 + {10 \choose 10}0,95^{10}\cdot 0,95^0 = 0,91386\approx 0,914\).

I sannolikheter som ovan där vi har upprepade försök av olika kombinationer talar vi om binomialsannolikhet.

Låt p vara sannolikheten att A sker. Då sker inte A med sannolikheten 1-p. Sannolikheten för att A sker k gånger av n är \( {n \choose k}p^n\cdot (1-p)^{n-k}.\).

Exempel 1 I ett hörförståelse test som består av 20 frågor med alternativen a, b, c och d, vet en elev svaren till 5 av frågorna. Resten gissar hen. Bestäm sannolikheten att hen

  1. har 15 rätt.
  2. har minst 15 rätt.
  3. har högst 14 rätt.

Lösning

Eftersom eleven har rätt svar på 5 av frågorna så skall hen gissa sig till rätt svar på 10 frågor. 5 frågor skall gissas fel. Sannolikheten för att gissa rätt är 0,25 och sannolikheten för att gissa fel är 0,75.

  1. Sannolikheten för att totalt 15 frågor är rätt gissade är \( {15 \choose 10}0,25^{10}0,75^{5} = 0,000679\).
  2. För att ha minst 15 rätt skall hen ha 15 eller 16 eller 17 eller 18 eller 19 eller 20 rätt. Vi kommer ihåg att hen redan har 5 rätt.
    Sannolikheterna bygger vi upp på motsvarande sätt:\( {15 \choose 10}0,25^{10}0,75^{5} + {15 \choose 11}0,25^{11}0,75^{4} + {15 \choose 12}0,25^{12}0,75^{3} \\ + {15 \choose 13}0,25^{13}0,75^{2} + {15 \choose 14}0,25^{14}0,75^{1} + {15 \choose 15}0,25^{15}0,75^{0} \\ = 0,000795\)
  3. Om hen skall ha högst 14 rätt skall hen ha 1 eller 2 eller 3 eller … 14 rätt. Det är komplementet till 1 – minst 15 rätt.
    Den sökta sannolikheten är \(1 – 0,000795 = 0,999205\).

Uppgifter

  1. Frön av en viss sort gror med sannolikheten 0,91. Vi sår 10 st.
    1. Bestäm sannolikheten att 8 frön gror.
    2. Bestäm sannolikheten att alla frön gror.
    3. Bestäm sannolikheten att minst 8 st gror.
    4. Bestäm sannolikheten att högst 7 st gror.
  2. I styktipset väljer man 1, X eller 2 bland 13 matcher. Bestäm sannolikheten att då vi spelar på stryktipset och gissar 10 eller 11 rätt.

  3. Vilken är sannolikheten att då vi spelar stryktips har mindre än 10 rätt?
  4. Då Daniel spelar stryktips har han 8 st ”säkra” matcher. Bestäm sannolikheten att han kommer att vinna pengar då det i alla fall krävs 10 rätt för utbetalning.
  5. I ett lotteri är sannolikheten för vinst 25 %. Vi köper 5 lotter. Bestäm sannolikheterna för 0, 1, 2, 3, 4 och 5 vinster och presentera sannolikheterna grafiskt.
  6. Till ett flyg som rymmer 76 passagerare säljs 80 biljetter. Man vet att 95 % sannolikhet reser de som köpt biljett med flyget. Bestäm sannolikheten att platserna i flyget räcker till.