17. Statistik och integrering

Vi började med att undersöka längder hos människor, och kom fram till att de följer normalfördelningen. Som vårt sista steg skall vi se hur vi kan sammanknyta statistiken med integrering.

När vi avläser tabellvärden för normalfördelningen så får vi fram arean under funktionen fram till en bestämd punkt. Det som vi får fram är värdet för fördelningsfunktionen, \(\Phi(x)\), fram till en bestämd punkt. Fördelningsfunktionen ger hur stor andel, hur många procent, som gäller fram till punkten i fråga.

Då vi deriverar fördelningsfunktionen, \(\Phi(x)\), kommer vi åt den funktion som ger frekvensen, antalet, för ett utkast. Den funktionen heter täthetsfunktion. Täthetsfunktionen för normalfördelningen är, \(f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}}\).

Beroende på värdena på \(\mu\) och \(\sigma\) ser grafen av normalfördelningens täthetsfunktion lite olika ut. På \(x\)-axeln har vi det som undersöks medan \(y\)-axeln ger frekvensen, som procent.

Då vi integrerar fördelningsfunktionen får vi följande grafer (färgerna är samma som i bilden ovan).

Åter igen har vi på \(x\)-axeln har vi det som undersöks medan \(y\)-axeln ger kumulativa frekvensen, som procent.

För att funktionen \(f\) skall vara en täthetsfunktion för en stokastisk variabel \(X\) så skall följande gälla.

  1. \(f(x) \geq 0 \) för alla \( x \in \mathbf{R}\).
  2. Arean som begränsas av \(f\) och \(x\)-axeln skall ha värdet 1.
Exempel 1 Funktionen \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll}ax &, \text{ när } 0 \leq x \leq 4 \\ 0 &, \text{ annars}\end{array} \right. \) är täthetsfunktionen för en stokastisk variabel \(X\).

  1. Bestäm värdet på konstanten \(a\).
  2. Beräkna sannolikheten att \(P(1 \leq X \leq 2)\).

Lösning

  1. För att \(f\) skall vara en täthetsfunktion så skall bägge villkor uppfyllas.

    Det första är att \(f(x) \geq 0\) för alla \(x\). Det sker för \(ax\) då \(a \geq 0\).

    För att \(f(x)\) skall vara en täthetsfunktion så skall arean av området från 0 till 4 ha värdet 1. Alltså \(\int_0^4 ax \,\text{d}x =1\). Vi får att \(a=\frac{1}{8}\).

    Funktionen är alltså \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll}\frac{1}{8}x &, \text{ när } 0 \leq x \leq 4 \\ 0 &, \text{ annars}\end{array} \right. \)

  2. Då vi bestämmer \(P(1 \leq X \leq 2)\) får vi

    \(P(1 \leq X \leq 2) = \int_1^2 \frac{1}{8}x \,\text{d}x = \frac{3}{16} \approx 0,1875\). Alltså 18,8 %.

Exempel 2 Fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel är

Något med en fördelningsfunktion.

Lösning

Sammanfattning

När vi integrerar täthetsfunktionen får vi fram fördelningsfunktionen,

Uppgifter

  1. Funktionen \(
    f(x)=\left\{
    \begin{array}{ll}
    kx, & \text{ då } 0 \leq x \leq 6 \\
    0, & \text{ annars} \\
    \end{array} \right. \)
    är täthetsfunktionen för en stokastisk variabel X.

    1. Bestäm värdet på konstanten \(k\).
    2. Bestäm sannolikheten \(P(0 \leq X \leq 2)\).
  2. Funktionen \(
    f(x)=\left\{
    \begin{array}{ll}
    ax^2, & \text{ då } 0 \leq x \leq 3 \\
    0, & \text{ annars} \\
    \end{array} \right. \)
    är täthetsfunktionen för en stokastisk variabel X.

    1. Bestäm värdet på konstanten \(a\).
    2. Bestäm sannolikheten \(P(2 \leq X \leq 3)\).
  3. Fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel är \(
    F(x)=\left\{
    \begin{array}{ll}
    0, & \text{ då } x\leq -1 \\
    2^{x-5}, & \text{ då } -1 < x \leq 4 \\ 1, & \text{ då } > 4\\
    \end{array} \right. \)
    Bestäm

    1. \(P(X \leq 0) \)
    2. \(P(X \geq 3) \)
    3. \(P(1 \leq X \leq 3)\)
  4. Uppgift med att kombinera grafer.
  5. Ett tåg avgår var 10 minut mot centrum. Låt den stokastiska variabeln X vara ”Väntetiden i minuter för en slumpmässig resenär som kommer en slumpmässig tid till stationen”.
    1. Bilda täthetsfunktionen för den stokastiska variabeln X.
    2. Bilda fördelsningsfunktionen för den stokastiska variabeln X.
    3. Vilken är sannolikheten att resenären måste vänta mindre än tre minuter innan tåget avgår?
  6. *För en kontinuerlig stokastisk variabel kan vi bestämma väntevärde och standardavvikelse på följande sätt

    Väntevärde: \( E(X) =\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \text{ d}x\)

    Standardavvikelse: \(D(X)=\sqrt{\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) \text{ d}x}\)

    Bestäm väntevärdet och standardavvikelsen för uppgiften ovan, bussen som avgår var 10 minut.

  7. Uppgift
  8. Problem 3
  9. Uppgift
  10. Uppgift
  11. Uppgift
  12. *Uppgift där vi integrerar och får värdet 0. Vad betyder det?
  13. *Uppgift