2. Geometrisk sannolikhet

Till stationen kommer ett tåg varje 15 minut. Tåget står där i 1 minut före det åker vidare. Daniel som inte vet tågets tidtabell anländer slumpmässigt till stationen.

  1. Bestäm sannolikheten att tåget står och väntar på honom.
  2. Att han får vänta högst 3 minuter på nästa tåg.

Eftersom vi har en händelse där vi inte kan tabellera alla möjligheter när Daniel anländer till stationen ser vi geometriskt på problemet. Vi löser problemet genom att se på en tallinje, där vi har sträckor om 15 minuter och 1 minut.

  1. Det gynnsamma fallen är 1 minut av det totala 15 minuter. Sannolikheten är \(\frac{1}{15} \approx 0,0.\)
  2. Om Daniel skall vänta högst 3 minuter på nästa tåg så är de gynnsamma fallen 4 minuter. Sannolikheten är \(\frac{4}{15} \approx 0,27\).

Exempel 1 Anna och Bertil har bestämt att de skall träffas på café mellan klockan 14:00 och 15:00. Den exakta tiden blev obestämd så båda anländer slumpmässigt oberoende över när den andra anländer. Bestäm sannolikheten att

  1. Anna anländer före Bertil,
  2. Anna får vänta över 20 minuter på Bertil.

Lösning

Eftersom det finns ändligt många olika tider som Anna och Bertil kan anlända löser vi problemet med hjälp av en bild.

Vi placerar in klockslag på \(x\)– och \(y\)-axeln så att den tid då Anna anländer är på \(x\)-axeln och den tid då Bertil anländer är på \(y\)-axeln. Alla punkter i planet, som är oändligt många representerar olika tider då de anländer.

Om Anna anländer före Bertil så skall \(x<y\). Vi tar och ritar ut grafen av \(y>x\) i bilden och märker att vi får två trianglar vars area är hälften av kvadratens area. Sannolikheten för att Anna anländer före Bertil är 0,50.

Om Anna skall få vänta över 20 minuter på Bertil får vi sambandet \(y>x +20\). Det området representeras av det område som är ovan linjen \(y=x+20\).

För att bestämma sannolikheten jämför vi areorna, \(\frac{\frac{1}{2}\cdot 40 \cdot 40}{60\cdot 60} \approx 0,22\).

Uppgifter

  1. Bestäm sannolikheten att lyckohjulet stannar på rött område då alla sektorer är lika stora.
  2. I en korsning måste bilisterna vänta högst 40 sekunder på grönt ljus. Det är grönt ljus 20 sekunder åt gången. Vilken är sannolikheten att en bilist som kommer till korsningen skall vara tvungen att vänta
    1. inte behöva stanna vid trafikljuset.
    2. skall vara tvungen att vänta högst 15 sekunder på grönt ljus.
    3. skall vara tvungen att vänta högst 30 sekunder på grönt ljus.
  3. En borttappad Legobit sökes i ett rum som är 3,0 m brett och 2,5 m brett. Vi antar att varje ställe på golvet har samma sannolikhet att Legobiten hittas där. Bestäm sannolikheten att Legobiten är högst 0,3 m från väggen.
  4. Anna och Bertil skall äta lunch tillsamman men den exakta tiden glömde de bort att bestämma. De bestämde att de skall träffas mellan 11:00 och 12:00. Bestäm sannolikheten att
    1. båda anländer efter 11:20,

    2. då Anna anländer efter 11:20 väntar redan Bertil på henne och

    3. de hamnar att vänta minst 30 minuter på varandra.

  5. Vi väljer slumpmässigt två reella tal från intervallet [0,4]. Bestäm sannolikheten att summan av dessa tal är lika med eller större än 5.

  6. En bordsduk består av vita och röda ränder. De vita ränderna är 4,0 cm breda och de röda 2,0 cm breda. På bordet singlar vi ett mynt vars diameter är 26 mm. Bestäm sannolikheten för att myntet, efter att det har rullat färdig,
    1. är på vitt

    2. stannar på bägge färgerna.
  7. *Vi väljer slumpmässigt en punkt i ett koordinatsystem så att \(x\) och \(y\)-koordinaten väljs från intervallet \([-4,4]\). Bestäm sannolikheten att vi inte träffar cirkeln som bestäms av \(x^2+y^2=9\).