3. Väntevärde

Anna och Bertil spelar ett spel som går ut på att man kastar tärning. Om Anna får en tvåa ger Bertil 7 tändstickor till Anna, annars ger Anna 1 tändsticka till Bertil.

Hur kommer det att gå i det långa loppet? Vem kommer att ha flera tändstickor?

För att lösa problem som detta använder vi oss av väntevärde inom sannolikhetsläran. Väntevärdet är ett mått över hur det kommer att gå. Väntevärdet får vi genom att multiplicera sannolikheten för en enskild händelse med det värde som den är värd. Det totala väntevärdet får vi genom att addera ihop alla enskilda väntevärden.

Matematiskt betecknar vi väntevärdet för en händelse, X, som \(\mu = E(X) = \sum_x x P(x)\).

För att bilda väntevärdet skapar vi först följande tabell:

Utfall Sannolikhet Annas förtjänst Bertils förtjänst
2 1/6 +7 -7
1,3,4,5,6 5/6 -1 +1

Väntevärdet ur Annas perspektiv är \(\frac{1}{6} \cdot 7 +\frac{5}{6}(-1) = \frac{2}{6} \approx 0,33 \). Det betyder att i det långa loppet kommer hon att ha 0,33 mera tändstickor än i början.

Ser vi på väntevärdet ur Bertils perspektiv får vi \(\frac{1}{6} (-7) +\frac{5}{6}\cdot 1 = -\frac{2}{6} \approx -0,33 \). Bertil kommer alltså i det långa loppet att förlora 0,33 tändstickor.

Exempel 1 Bestäm väntevärdet för ett tärningskast med en sexsidig tärning.

Lösning

För en sexsidig tärning har varje siffra sannolikheten \(\frac{1}{6}\).

Väntevärdet är \(1\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{6}+4\cdot\frac{1}{6}+5\cdot\frac{1}{6}+6\cdot\frac{1}{6} = 3,5\).

Märk att väntevärdet inte behöver vara ett sådant värde som vi inte kan få.

Uppgifter

  1. Vi kastar två tärningar och adderar ihop ögontalen. Bestäm väntevärdet för händelsen.
  2. Anna och Bertil kastar tärning. Om tärningen visar 1 eller 2 ger Bertil 1 tändsticka åt Anna, om tärningen visar 3 får Bertil 2 tändstickor av Anna och om tärningen visar 4, 5 eller 6 lägger båda bort en tändsticka från spelet.
    1. Bestäm väntevärdet för Anna.
    2. Bestäm väntevärdet för Bertil.
    3. Vem vinner i längden? Anna, Bertil eller spelet?
  3. Sannolikheterna för de olika raderna som ger vinst och deras vinstutdelning i Lotto finns i raden nedan. En rad lotto kostar 1 €.
    Vinstrad Sannolikhet Genomsnittligt vinstbelopp
    7 0,000000065 2 000 000 €
    6+1 0,000000910 50 000 €
    6 0,000013653 2 000 €
    5 0,000677202 50 €
    4 0,011286699 10 €
    1. Bestäm väntevärdet för en rad Lotto.

    2. Hur ser situationen ut efter 50 omgångar då en rad kostar 1 €?
  4. Anna spelar lyckohjul som är indelat i åtta lika stora sektorer, enligt figuren. En snurrning kostar 5 €.

    1. Bestäm väntevärdet efter en omgång?
    2. Hur ser Annas situation ut efter 30 omgångar?
  5. För ett lotteri gäller följande: med sannolikheten 0,05 vinner man 10 € och med sannolikheten 0,20 vinner man 1 €, annars förlorar man. Hur många euron borde en lott kosta om vi tänker att spelet är rejält som betyder att väntevärdet har värdet 0 €?