4. Kombinatorik

Anna och Bertil besöker den lokala djurparken. Djurparken är känd på grund av apan Aapo som tycker om att skriva på en gammal skrivmaskin.

Med sig i buren har Aapo en gammal skrivmaskin med tangenter för 29 bokstäver, kommatecken, punkt, radbyte och frågetecken. På hans skrivmaskin finns in alles 33 tangenter. Han sitter i sin bur och har litterära ambitioner, men med hans metoder är lite si som så, han slår slumpmässigt på tangenterna.

För varje sekvens av ord finns det en sannolikhet att de skall dyka upp på pappret. Detta betyder att det finns en sannolikhet att Aapo kommer att skriva inledningsfrasen för Väinö Linnas Tuntematon Sotilas ”Niin kuin, …”.

Dessutom existerar det en möjlighet att han får resten av boken skriven rätt och efter det skriven den på engelska. Sannolikheten är liten men den existerar…

Vi ser på de två första orden som 10 lådor som skall fyllas med rätt innehåll.

N I I N   K U I N ,

För första rutan kan vi välja mellan 33 tangenter, för den andra mellan 33 tangenter, den tredje 33 tangenter och så vidare. Vi får \(33 \cdot 33 \cdot 33 \cdot 33 \cdot 33\cdot 33 \cdot 33\cdot 33 \cdot 33 \cdot 33 = 33^{10} = 1 531 578 985 264 449\).

Som du märker är finns det en hel del olika sätt att kombinera 10 stycken tecken, och en av dessa ger ”Niin kuin,”. I de flesta fallen skriver han något i stil med ”Ahm?.re sf”.

Exempel 1 En sifferkombination bestäms genom att kasta en sexsidig tärning 3 gånger. Hur många olika sifferkombinationer kan man bilda?

Lösning

På tärningen har vi siffrorna 1-6. På första plats finns det 6 olika möjligheter, andra plats 6 st och till sist 6 st.

Antalet kombinationer är \(6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3 = 216\) st.

Uppgifter

  1. Bertil har i sitt klädskåp, 2 par jeans, 5 par t-skjortor, 3 st tröjor och 7 par strumpor. Hur många olika klädkobinationer kan han skapa?
  2. En fyrsiffrig PIN kod består av fyra siffror från intervallet 0-9. Hur många olika koder finns det?
  3. En registerplåt består av tre bokstäver från A till Z, borträknat Q och W och tre siffror från 0 till 9. Hur många olika registerplåtar kan man bilda av detta?
  4. I stryktipset kan man välja mellan 1,X och 2. Totalt finns det 13 matcher vars utgång man skall gissa (eller veta). Hur många olika tipsrader finns det totalt?
  5. Datorer som är uppkopplade till nätverk har en IP-adress. För IP-adresserna finns det två standarder, den gamla IPv4 och det nya IPv6. IPv4 består 32 sekvenser som antingen har värdet noll eller ett. IPv6 består igen av 128 sekvenser som antingen har värdet noll eller ett.
    1. Hur många IPv4 adresser kan man bilda?
    2. Hur många IPv6 adresser kan man bilda?
  6. Anna försöker bryta in sig på Bertils Facebook konto. Anna vet att Bertils kod består först av 4 bokstäver och sedan 4 siffror. Bokstäverna kan vara små eller stora och från A-Ö. Vidare vet hon att 3:e bokstaven är ett A eller a och att de två sista siffrorna är 4 och 5. Hur många olika varianter finns det för henne att pröva?
  7. Varför är ett längre lösenord säkrare än ett kort? Gör i ett kalkylblad (tex Excel, Sheets eller Numbers) en tabell över hur många olika kombinationer en viss längd av ett lösenord har. Räkna ut i kolumnen bredvid tiden som det tar för en dator att gå igenom alla olika kombinationer om datorn har klockfrekvensen 1,5 MHz.