5. Permutationer

Anna, Bertil, Cecilia och Daniel skall ställa sig i kö. De funderar hur många olika köer som de kan bilda. Kan du hjälpa dem?

Först i kön kan vi placera Anna, Bertil, Cecilia eller Daniel, 4 alternativ. Som andra i kön kan vi välja mellan 3 personer, som tredje i kön kan vi välja mellan 2 personer och som fjärde har vi en person.

1:a platsen 2:a platsen 3:e platsen 4:e platsen
4 personer 3 personer 2 personer 1 person

Mängden olika kombinationer är \(4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 = 24\). Vi kan skriva \(4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1\) som \(4!\), utläses ”fyra fakultet”.

Antalet olika permutationer, varianter av en mängd, som består av \(n\) element är \(n!\) där \(n!=n(-1)(n-2)\cdot \ldots \cdot 2\cdot 1\).

Hur många olika köer kan Anna, Bertil, Cecilia och Daniel bilda där endast två personer deltar?

Vi kan välja bland 4 personer till först och 3 på andra plats. Vi får \(4\cdot 3 =12\).

Men vi kan också räkna som följande: \(4 \cdot 3 =\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 1} = \frac{4!}{2!}\).

Om vi allmänt skall ur en mängd \(n\) skall bilda n-permutationer, eller ordnade delmängder, som består av \(k\) st element får vi det som \(P_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}\). På räknaren utnyttjar vi en knapp som påminner om nPr.

Uppgifter

  1. I hur många olika köer kan vi placera
    1. Knatte, Fnatte och Tjatte?
    2. 7 bröder?
    3. en riksdagsgrupp på 19 ledamöter?
  2. Aapo, som är ett stort fan av Väinö Linna, placerar alla sex böcker av Väinö Linna i sin bokhylla slumpmässigt. Vilken är sannolikheten att Aapo placerar de i kronologisk ordning?
  3. På hur många sätt kan vi av 200 riksdagsledamöter ordna en kö som består av 3 st ledamöter.
  4. Ett fotbollslag består av följande antal spelare.
    Målvakter 3 st
    Försvarare 7 st
    Mittfältare 7 st
    Anfallare 5 st
    Totalt  22 st
    1. 4 st försvarare skall spela. På hur många olika sätt kan tränaren kombinera sina försvarare?
    2. På hur många sätt kan han spela sina mittfältare och anfallare då de totalt utgör 6 spelare från öppningselvan?
    3. På hur många olika sätt kan tränaren välja öppningselvan?
  5. Cecilia spelar på stryktipset och har 8 st matcher vars resultat hon är ”säker” på, så kallade ”säkra” val. Resten kan sluta som 1, X eller 2. Hur många rader borde hon spela för att vara säker på att hon skall ha 13 rätt?
  6. 4 flickor och 3 pojkar bildar en kö. Med vilken sannolikhet kommer en pojke att vara sist i kön?
  7. *Hur många personer bör samlas i samma utrymme så att sannolikheten för att åtminstone två personer delar födelsedag överstiger 50 %?