6. Kombinationer

Anna, Bertil, Cecilia och Daniel funderar över hur många par de kan bilda. Kan du hjälpa dem?

Paret Anna och Bertil är samma som Bertil och Anna. Vi gör följade tabell:

Anna Bertil
Anna Cecilia
Anna Daniel
Bertil Cecilia
Bertil Daniel
Cecilia Daniel

Då vi räknar raderna märker vi att de kan bilda på sex olika sätt. Då vi ordnade dem i köer, permutationer, fick vi 12 olika köer. Det som vi måste beakta är att permutationerna Anna, Bertil och Bertil, Anna är samma kombination. Då vi delar antal permutationer med två får vi antalet kombinationer att stämma.

Om vi allmänt ur en mängd \(n\) skall bila kombinationer beståendes av \(k\) element får vi det som \(C_{n,k} = \frac{P_{n,k}}{k!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = {n \choose k}\).

För att slå in \({n \choose k}\) på räknaren använder du dig av nCr funktionen.

Exempel 1 Bestäm sannolikheten att vi i ett parti poker direkt får färg då korten delas ut.

Lösning

För att få färg så skall alla fem kort vara av samma sort. Ur en färg, som består av 13 kort, är vi intresserade av 5. Antalet kombinationer är \({13\choose 5}\). I kortpacken är det 4 färger som kan bilda färg så totala antalet gynnsamma utfall är \(4\cdot {13\choose 5}\).

Totala antalet utfall, kombinationer, som vi kan bilda med 5 st kort är \({52 \choose 5}\).

Sannolikheten är \(\frac{4\cdot {13\choose 5}}{{52\choose 5}} = 0,00198\). Vi borde få färg direkt vid utdelningen ca 1 gång av 500.

Uppgifter

  1. På hur många sätt kan vi av Jukolas sju bröder bilda grupper som består av 5 stycken bröder?
  2. Hur många ”händer” kan man dra ur en kortpacke då man drar 5 st kort?
  3. I Bridge delas kortpackens 52 kort jämt bland spelets 4 deltagare. På hur många sätt kan kortpacken delas?
  4. I Lotto dras 7 siffror och 2 tilläggsiffror av 39. När du spelar normalt väljer man 7 st siffror.
    1. Hur många olika rader kan vi bilda i Lotto?
    2. Bestäm sannolikheten för att få 7 rätt.
    3. *Bestäm sannolikheten att inte ha någon siffra rätt.
  5. Ett idrottslag består av 22 spelare. För en dopingtest väljs 5 spelare slumpmässigt.
    1. Hur många olika stickprov kan man få av laget?
    2. I laget finns tre spelare som använt förbjudna preparat. Med vilken sannolikhet består stickprovet av endast rena spelare?
  6. Lotto kan man spela som system. Det betyder att man väljer flera siffror än 7. I system 9/39 väljer man 9 siffror av 39. I delmomenten räknar vi med att vi spelar 9 siffror.
    1. ur många normala rutfält med 7 siffror motsvarar valet av 9 siffror?
    2. Med vilken sannolikhet får man 7 rätt?

    3. Med vilken sannolikhet har man ingen siffra rätt?
    4. Med vilken sannolikhet har man i alla fall en siffra rätt?
  7. Vilket sätt inom kombinatoriken beskriver följande händelse?
    Påstående \(n\cdot n \cdot n \ldots \cdot n\) \(n!\) \({n\choose k}\)
    Antal kombinationer då vi agerar slumpmässigt.
    Antal grupper där ordningen spelar roll.
    Antal grupper där ordningen inte spelar någon roll.
  8. *Visa att följande stämmer.
    1. \(\displaystyle{n\choose 0}=\displaystyle{n\choose n} = 1\)
    2. \(\displaystyle{n\choose n-k} = \displaystyle{n\choose k}\)
    3. \(\displaystyle{n\choose k} + \displaystyle{n \choose k+1} = \displaystyle{n+1\choose k+1}\)