7. Multiplikationsprincipen

Vi har hittils tittat på enskilda händelser och deras sannolikhet. Till nästa tar vi och börjar kombinera olika händelser och deras sannolikheter. Vi börjar med att se på hur vi tolkar händelserna ”eller” och ”och”.

Hittils har vi redan räknat med komplementet, det motsatta att en händelse sker.

Anna, Bertil, Cecilia och Daniel har gjort följande tabell över sina egenskaper:

Anna flicka högerhänt blåa ögon
Bertil pojke högerhänt bruna ögon
Cecilia flicka vänsterhänt blåa ögon
Daniel pojke högerhänt blåa ögon

De funderar på följande:

Vad är sannolikheten av att av oss 4 väljs slumpmässigt först en pojke och sedan en person med blå ögon då personen som valdes först är med i den andra dragningen?

Sannolikheten för en pojke är \(\frac{2}{4}\) och sannolikheten för en person med blåa ögon är \(\frac{3}{4}\). Vi söker efter sannolikheten att vi först väljer en pojke och sedan en person med blåa ögon. Den sökta sannolikheten är \(\frac{2}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{16}\).

Två händelser, A och B, är oberoende av varandra om valet av A inte påverkar på valet av B och valet av B inte påverkar valet av A. Då A och B är oberoende av varandra gäller att sannolikheten P(A och B) = P(A) \(\cdot\) P(B).

Exempel 1 Människor hör till någon av fyra blodgrupper, A, B, AB och O. I Finland är andelen som hör till respekitive grupp följande

Blodgrupp Andel
A 44 %
B 17 %
AB  8 %
O 31 %

Dessutom har 87 % av den finska befolkningen Rhesusfaktor, Rh+, medan resten är utan. Om en person har Rhesusfaktor är helt oberoende vilken blodgrupp som personen hör till. Bestäm sannolikheten att en person hör till blodgruppen

  1. A+
  2. O-
  3. AB-

Lösning

Beteckningen A+ betyder blodgrupp A och Rhesusfaktor +.

  1. Sannolikheten för blodgrupp A är 0,44 och Rh+ är 0,87. Sannolikheten för A+ är \(P(A+) = P(A) \cdot P(Rh+) = 0,44 \cdot 0,87 = 0,3828 \approx 0,383\).
  2. Sannolikheten för blodgrupp O är 0,31 och Rh- är 1 – 0,87 = 0,13. Sannolikheten för O- är \(P(O-)=P(O) \cdot P(Rh-) = 0,31 \cdot 0,13 = 0,0403 \approx 0,040\). Denna grupp av människor kan donera blod till vem som helst.
  3. Sannolikheten för blodgrupp AB är 0,08 och Rh- är 0,13. Sannolikheten för AB- är \(P(AB-)= P(AB) \cdot (Rh-)= 0,08 \cdot 0,13 = 0,0104 \approx 0,010\).

Exempel 2 I Europa är kör 3,5 % av bilisterna påverkade av alkohol. I ett blåstest blåser 200 bilister. Bestäm sannolikheten att i alla fall en rattfyllerist åker fast.

Lösning

Då 3,5 % kör påverkade av alkohol är andelen som inte är påverkade 100 – 3,5 = 96,5 %.

Händelsen att ingen av 200 personer är påverkad av alkohol kan vi uttrycka som ”första är inte, andra är inte, tredje är inte, …, den 200 är inte påverkade”.

Eftersom bilisterna väljs slumpmässigt är händelserna oberoende av varandra.

Sannolikheten får vi som P(ingen av 200 bilister) = \(0,965 \cdot 0,965 \cdot \ldots \cdot 0,965 = 0,965^{200}\).

Den sökta sannolikheten är P(i alla fall 1) = 1 – P(ingen) = \(1-0,965^{200} = 0,999195\).

Alltså 99,9 %.

Uppgifter

  1. De bästa spelarna i NBA kastar in frikast med sannolikheten 0,90. Bestäm sannolikheten för att en spelare får in
    1. 2 frikast efter varandra.
    2. 3 frikast efter varandra.
  2. Vilken är sannolikheten att vi ur en kortpacke drar en tvåa följt av en fyra efter att vi lagt tillbaka det första kortet i packen? Vi räknar med att ässet har valören 1.
  3. Vilken är sannolikheten att vi ur en kortpacke drar två kort så att det första är spader och att det andra har valören mindre än 7 utan att lägga tillbaka korten i packen? Vi räknar med att ässet har valören 1.
  4. Två tal, \(x\) och \(y\), bestäms slumpmässigt ur intervallet [0,4].
    1. Bestäm sannolikheten att \(x\) och \(y\) är större än 3.
    2. Bestäm sannolikheten att \(x-y<2\) och \(x<y\).
  5. I Lotto lottas av 39 nummer 7 nummer och 2 tilläggsnummer. Bestäm sannolikheterna för de olika vinstklasserna i Lotto då vinstklasserna är:
    1. 7 rätt
    2. 6+1 rätt
    3. 6 rätt
    4. 5 rätt
    5. 4 rätt
  6. Inom trafiken i Europa kör 1,9 % av bilisterna påverkade av droger. I en razzia testas 200 personer. Bestäm följande sannolikheter.
    1. Bestäm sannolikheten att i alla fal en bilist av 200 blir fast för att köra påverkad av narkotika.
    2. Uppgift