8. Additionsprincipen

Anna, Bertil, Cecilia och Daniel har gjort följande tabell över sina egenskaper:

Anna flicka högerhänt blåa ögon
Bertil pojke högerhänt bruna ögon
Cecilia flicka vänsterhänt blåa ögon
Daniel pojke högerhänt blåa ögon

De funderar på följande:

Vilken är sannolikheten att av dem väljs slumpmässigt en flicka eller en vänsterhänt person.

Sannolikheten för en flicka är \(\frac{2}{4}\) och sannolikheten för att personen är vänsterhänt är \(\frac{1}{4}\). Det som vi måste beakta är att vi har en flicka som är vänsterhänt, sannolikheten att hon blir vald är \(\frac{1}{4}\).

Vår sökta sannolikhet är \(\frac{2}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4} = \frac{1}{2}\).

Allmänt har vi händelserna A och B. Då vi söker sannolikheten för A eller B måste vi beakta den sannolikhet då A och B gäller samtidigt.

Sannolikheten för P(A eller B) = P(A) – P(B) – P(A och B).

Exempel 1 Ur en kortpacke dras två kort. Bestäm sannolikheten att bägge kort är röda (hjärter eller ruter) eller att bägge kort är åttor.

Lösning

För varje färg finns det kort med valören åtta. Dessa kort måste vi beakta då vi bestämmer sannolikheten.

Sannolikheten är P(båda röda) + P(båda åttor) – P(båda röda och valören åtta).

I packen finns det 26 st röda kort och 4 st åttor.

Sannolikheten är \(P(\text{båda röda eller åttor}) = \frac{26\cdot 25}{52\cdot 51} + \frac{4\cdot 3}{52\cdot 51} – \frac{2\cdot 1}{52\cdot 51} = 0,248868\ldots \approx 0,249\).

Exempel 2 Rhesus egenskapen är beroende av folkgrupper. Av den baskiska befolkningen är 65 % Rhesus positiva, Rh+. Bestäm sannolikheten att i en baskisk familj där båda föräldrar är basker

  1. är båda föräldrar Rhesus negativa
  2. har båda föräldrar samma Rhesusegenskap

Lösning

  1. Andelen Rhesusnegativa, utan Rhesus faktorn, är 1 – 0,65 = 0,35. Sannolikheten att båda föräldar är Rhesusnegativa är \(P(Rh-) \cdot P(Rh-) = 0,35 \cdot 0,35 = 0,1225 \approx 0,123\).
  2. Då båda föräldrar skall ha samma Rhesus egenskap gäller att bägge föräldrar är Rh+ eller Rh-. Eftersom Rhesusegenskapen utesluter varandra, antingen har du den eller inte, så behöver vi inte beakta något annat.

    Sannolikheten är \(P(\text{Båda Rh+}) + P(\text{Båda Rh-}) – P(\text{Olika Rh}) = 0,65 \cdot 0,65 + 0,35 \cdot 0,35 = 0,545\).

Om två händelser A och B utesluter varandra, som i exemplet ovan gäller att P(A eller B) = P(A) + P(B).

Uppgifter

  1. Vilken är sannolikheten att vi ur en kortpacke drar en tvåa eller en fyra? Vi räknar med att ässet har valören 1.
  2. Utesluter händelserna varandra?
    Påstående Utesluter varandra Utesluter inte varandra
    Vi kastar en tärning två gånger.

    A: första kastet ger en fyra.

    B: andra kastet ger en trea.

    Vi kastar en tärning två gånger.

    A: första kastet är udda.

    B: första kastet är jämt.

    Vi kastar en tärning två gånger.

    A: första kastet ger en fyra och andra kastet ger en sexa.

    B: första kastet ger en fyra och andra kastet ger en fyra.

    A: Anna försenar sig från skolan.

    B: Börje försenar sig från skolan.

    Vi planterar tulpaner och solrosor. Exakt en blomma gror.
  3. Vilken är sannolikheten att vi ur en kortpacke drar ett kort som är spader eller att valören är mindre än 7? Vi räknar med att ässet har valören 1.

  4. Två reella tal, \(x\) och \(y\) väljs slumpmässigt ur intervallet \([-1,4]\). Bestäm sannolikheten att
    1. \(x>3\) eller \(y<0\).
    2. \(y<x-1\) eller \(x<y-1\).