Komplexa tal

Vi börjar med att undersöka ekvationen \(x^2+16=0\). Då vi löser den märker vi att \(x^2-2x\).

\(
\begin{array}{rcll}
x^2 &=& -16 & | \sqrt{\quad} \\
x &=& \pm\sqrt{-16} \\
\end{array}
\)

För att komma vidare inför vi \(\sqrt{-1} = i\). Då kommer vi vidare.

\(
\begin{array}{rcll}
x &=& \pm\sqrt{-1 \cdot 16} \\
x &=& \pm\sqrt{-1} \cdot \sqrt{16} \\
x &=& \pm4i \\
\end{array}
\)

Ekvationen har alltså två lösningar, \(4i\) och \(-4i\).

Det lilla i:et som vi införde gör talet 4i till ett komplext tal. Komplexa tala är en utvidgning av talområdet som börjar med

Naturliga tal \(\mathbb{N}\) \( 0,1,2,3,\ldots\)
Hela tal \(\mathbb{Z}\) \(\ldots,-2,-1,0,1,2 \ldots \)
Rationella tal \(\mathbb{Q}\) \(\frac{m}{n}, m,n \in \mathbb{Z}, n \not= 0\), alltså bråktal
Reella tal \(\mathbb{R}\) alla tal ovan och dessutom \(\sqrt{2}, \pi\) osv
Komplexa tal \(\mathbb{C}\) alla tal ovan och tal som tex löser ekvationen \(x^2=-1\)

Komplexa tal består av en reell del och en imaginär del, tex \(3+2i\).

Vi kan beskriva dem med följande graf:

För komplexa tal kan vi använda oss av de fyra räknesätten.

Addition och subtraktion av komplexa tal påminner om addition och subtraktion med vektorer. Vi behandlar den reella och den imaginära delen skilt för sig.
Addition och subrtraktion

Exempel \((2-3i)+(-3+5i)\).\(
\begin{array}{rcl}
(2-3i)+(-3+5i) &=& 2-3i-3+5i \\
&=& (2-3)+(-3i+5i) \\
&=& -1+2i \\
\end{array}
\)

Multiplikation

Exempel \((2-3i)\cdot(-3+5i)\).\(
\begin{array}{rcll}
(2-3i)\cdot(-3+5i) &=& 2(-3)+2\cdot5i -3i(-3) -3i\cdot 5i \\
&=& -6+10i+9i-15i^2 \\
& &\text{OBS! } \sqrt{-1}=i \Leftrightarrow -1=i^2 \\
&=& -6+19i-15(-1) \\
&=& 9+19i \\
\end{array}
\)

Och till sist division.

Exempel \(\frac{2-3i}{-3+5i}\).
För division vill bli av med i:et i nämnaren. Det blir vi genom att förlänga med nämnarens konjugattal.\(
\begin{array}{rcll}
\frac{2-3i}{-3+5i} &=& \frac{(2-3i)(3+5i)}{(-3+5i)(3+5i)} \\ \\
&=& \frac{6+10i-9i-15i^2}{-9+25i^2} &\text{OBS! } \sqrt{-1}=i \Leftrightarrow -1=i^2 \\ \\
&=& \frac{6+10i-9i-15(-1)}{-9+25(-1)} \\ \\
&=& \frac{21+i}{-34} \\ \\
&=& -\frac{21}{34} -\frac{i}{34} \\ \\
\end{array}
\)

I skolvärden stöter vi emellan åt på komplexa tal då vi skall lösa andragradsekvationer. Hittills har vi nöjt oss med att påstå att ekvationen saknar lösningar då sanningen är att den saknar reella lösningar.

Exempel Vi löser till nästa ekvationen \(x^2+2x+5=0\).Rotformeln ger oss att

\(
\begin{array}{rcll}
\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot 5}}{2\cdot 1} &=& \frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2} \\ \\
&=& \frac{-2\pm 4i}{2} \\
&=& \frac{2(-1\pm 2i)}{2} \\
&=& -1\pm 2i \\
\end{array}
\)

Uppgifter

  1. Lös ekvationen \(x^2 + 25 = 0\).
  2. Lös ekvationen \(2x^2 + 8 = 0\).
  3. Lös ekvationen \(x^2 – 16 = 0\).
  4. Bestäm \((3-i)+(2+3i)\).
  5. Bestäm \((4+2i)+2i-(5+4i)\).
  6. Bestäm \((2-6i)-(-6+2i)\).
  7. Bestäm \((3-i)\cdot(2+3i)\).
  8. Bestäm \((2-6i)\cdot(-6+2i)\).
  9. Bestäm \( \frac{(3-i)}{(2+3i)}\).
  10. Bestäm \( \frac{2-6i}{-6+2i} \).