1. Rationell funktion

Vi börjar vårt äventyr med att undersöka rationella funktioner. Rationella funktioner är funktioner där vi i täljaren och nämnaren består av polynom. Eftersom vi har ett polynom i nämnaren betyder det att den rationella funktionen är definierad i alla punkter förutom nämnarens nollställen.

Rita funktionen \(f(x)=\frac{1}{x^2-1}\) och bestäm \(f(2)\).

När vi ritar funktioner för hand så behöver vi ett par punkter på funktionen. Dessa punkter får du lättast genom att lista ett par \(x\)-koordinater och sedan räkna ut motsvarande \(y\)-koordinat.

Exempel 1 Bestäm definitionsmängden för \(g(x)=\frac{x-2}{x^2-4x+4}\).

Lösning

Funktionen är definierad då nämnaren inte har värdet noll.

Vi får att

\(\begin{array}{rcl} x^2-4x+4 & \not= &0 \\ (x-2)^2 &\not= & 0 \\ x-2 &\not= & 0 \\ x & \not=&2 \\ \end{array}\)

Definitionsmängden är alltså alla reella tal utom 2.

Räknare, datorer, telefoner och webbsidor brukar inte klara av att rita grafen av funktioner där det finns hål. Funktionen \(f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}\) ritas som \(g(x)=x-2\) fastän \(f(x)\) inte är definierad i punkten \(x=-2\). Det som händer är att räknare, datorer, telefoner och webbsidor förenklar och förkortar först om de kan och glömmer att bestämma punkter där funktionen inte är definierad.

Observera detta när du tar hjälp av räknare och räkneprogram!

Uppgifter

  1. Svara på följande frågor utgående från grafen på bilden.

    1. Bestäm definitionsmängden.
    2. Bestäm \(f(1)\).
    3. Bestäm funktionens största värde.
    4. Bestäm de punkter som ger funktionsvärdet 3.
  2. Bestäm definitionsmängden för funktionerna.
    1. \(f(x)=\frac{1}{x+1}\)
    2. \(f(x)=\frac{2}{x^2-9}\)
    3. \(f(x)=\frac{2-x}{4-x^2}\)
    4. \(f(x)=\frac{3-x}{x^2-x-2}\)
  3. Funktionen \(f(x)=\frac{x}{x-3}\) är inte definierad i punkten \(x=3\). Hur ritar din räknare grafen av funktionen? Hur borde din räknare rita grafen?
  4. Funktionen \(f(x)=\frac{x+3}{x^2-9}\) är inte definierad då \(x=\pm 3\). Hur ritar din räknare grafen av funktionen? Hur borde din räknare rita grafen?