10. Derivatan av produkten av två funktioner

När vi deriverar produkten mellan två funktioner använder vi oss av produktregeln.

Låt oss ta funktionerna \(f\) och \(g\). Derivatan av produkten är \(D(fg) = f’g+g’f\).

Bevis

Vi tar funktionen \(h(x)\) som är produkten av \(f(x)\) och \(g(x)\), alltså \(h(x)= f(x)g(x)\). Vi skall visa att \(h'(x)=f'(x)g'(x)\).

\(\begin{array}{rl} h'(x)= & \lim_{h \to 0} \frac{h(x+h)-h(x)}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{[f(x+h)-f(x)]g(x+h)+f(x)[g(x+h)-g(x)]}{h} \\ = & \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \lim_{h\to 0} g(x+h)+ \lim_{h\to 0}f(x)\cdot \lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ = &f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ \end{array}\)

Alltså \(f(x)g(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)\)

Exempel 1 Bestäm \(D(x^2-1)(x+1)\) genom att använda produktregeln.

När vi deriverar funktioner som består av en funktion gånger en annan funktion så får vi först förenkla och sedan derivera. Eller så får vi derivera med hjälp av produktregeln.

Uppgifter

  1. Bestäm \(D(x-1)(x^2+1)\) genom att använda produktregeln.
  2. Bestäm \(D(-x^2+1)(2-x)\) genom att använda produktregeln.
  3. Bestäm \(D(x-2)(2-x)\) genom att använda produktregeln.
  4. Bestäm \(D(2x^3-2x)(x^2+x)\) genom att använda produktregeln.
  5. Bestäm \(D(x-1)(x+1)\).
  6. Bestäm \(D(x-2)^2\).
  7. Bestäm minsta värde för funktionen \(f(x)=(x-1)(x+2)\).
  8. Bestäm extremvärden för funktionen \(f(x)=(x^2-x)(x-1)\).