12. Derivatan av kvoten mellan två funktioner

När vi deriverar en kvot av två polynom gör vi som följande: \(D\frac{f}{g}= \frac{f’g-g’f}{g^2}\). Detta gäller för alla funktioner \(f\) och \(g\) då \(g\not=0\).

Bevis

Låt \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\). Då gäller att

\(\begin{array}{rl} g(x) = & f(x)h(x) \\ g'(x) =& f'(x)h(x) +f(x)h'(x) \\ f'(x)h(x) =& g'(x)- f(x)h'(x) \\ f'(x) =& \frac{g'(x)- f(x)h'(x)}{h(x)} \\ =& \frac{g'(x)- \frac{g(x)}{h(x)}h'(x)}{h(x)} \\ =& \frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2} \\ \end{array}\)

Alltså \(\frac{g(x)}{h(x)}= \frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^2}\).

Exempel 1 Derivera funktionen \(f(x)=\frac{2x^2+1}{x-1}\) och bestäm nollställena för derivatan.

Exempel 2 Bestäm \(D\frac{1}{x^3}\). Kan vi bestämma derivatan genom att utnyttja \(Df^n=n\cdot f^{n-1}\cdot f’\)?

Exempel 3 Derivera funktionen \(f(x)=\frac{3}{(x^2+1)^4}\).

Uppgifter

  1. Bestäm \(D\frac{x^2+1}{x+1}\).
  2. Bestäm \(D\frac{x-1}{-x^2+2}\).
  3. Kombinera rätt funktion med rätt derivatafunktion. Funktionerna har du till vänster och derivatafunktionerna till höger.

    Välj bland följande funktioner:

    Funktion Derivatafunktion
  4. Derivera funktionen \(\frac{1}{3x^2-x}\).
  5. Derivera funktionen \(\frac{5}{x^2-1}\).
  6. Derivera funktionen \(\frac{4}{(x-1)^2}\).
  7. Derivera funktionen \(\frac{x^2+1}{2x^2-1}\) och bestäm derivatans nollställe.
  8. Derivera funktionen \(f(x)=\frac{x^2-2x}{x^2+1}\) och bestäm derivatans nollställen.
  9. *I vilka punkter byter funktionen \(f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}\) riktning?
  10. *Visa att \(f(x)=\frac{2}{4x+1}\) är strängt avtagande i sin definitionsmängd.
  11. *Visa att \(f(x)=\frac{x^2+x-2}{x-1}\) är strängt växande i sin definitionsmängd.