13. Undersökning av den rationella funktionen

Sedan har vi kvar det svåraste. Att undersöka rationella funktioner. Egentligen är det inte svårt, det tar bara tid och det är några saker du måste komma ihåg att beakta.

Exempel 1 Bestäm när funktionen \(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\) avtar och växer.

Exempel 2 Bestäm extremvärden, största och minsta värden, för funktionen \(f(x)=\frac{2}{x^2-1}\).

När vi undersöker rationella funktioner gör vi följande:

  1. Bestäm för vilka tal som funktionen inte är definierad.
  2. Derivera funktionen.
  3. Sök nollställen för derivatans täljare och nämnare.
  4. Bilda ett teckenschema där du kombinerar tecknen för täljaren och nämnaren.
  5. Svara på frågan.

Uppgifter

  1. Grafen av funktionen \(f\):s derivatafunktion \(f’\) är ritad på bilden.

    Bestäm utgående från bilden följande:

    1. Den punkt där funktionen \(f\) byter rikting.
    2. Funktionen \(f\) är avtagande då
    3. Fuktionen \(f\) är växande då
  2. I bilden är grafen av funktionen \(f\) ritad.

    Berätta hur grafen av derivatafunktionen \(f’\) beter sig.

  3. Bestäm extremvärden för funktionen \(f(x)=\frac{-1}{x^2-1}\).
  4. Bestäm tangentens ekvation för \(y=\frac{1}{x}\) då \(x=1\).

  5. Bestäm största och minsta värdet för funktionen \(f(x)=-\frac{3}{x^2-9}\) i intervallet \([-1,2]\).
  6. Bestäm extremvärden för funktionen \(f(x)=\frac{x-1}{x^2+2}\).
  7. Bestäm extremvärdena för \(f(x)=\frac{x^2}{x^2-1}\).
  8. Grafen av funktionen \(f(x)\):s derivatafunktion \(f’(x)\) är uppritad på bilden.

    Berätta om hur funktionen \(f(x)\) beter sig.

  9. *Hur beter sig funktionen \(f(x)=\frac{x}{x^2-x}\)?
  10. *Visa att funktionen \(f(x)=\frac{2}{x-2}\) är avtagande.