14. Repetition

Det var det. Sedan är det bara att repetera det som du lärt dig.

Uppgifter

  1. Förenkla
    1. \(\frac{2x^2-x}{3x}\)
    2. \(\frac{x^2-4}{x+2}\)

    3. \(\frac{x^2-3x+2}{2x-2}\)

  2. Lös dessa gamla studentexamensuppgifter. Inom parentesen har ni höst eller vår plus årtal och uppgiftens nummer.
    1. Förenkla \(\frac{x^2-9}{x+3}\). [H12, 2b)]
    2. Bestäm \(\frac{x}{1-x} + \frac{x}{1+x}\). [V05, 1a)]
    3. Beräkna \(\frac{1}{a-1}(a-\frac{1}{a})\). [V06, 1c]
    4. Bestäm \(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1+x}{x^2}\). [H08, 1b)]
    5. Bestäm \(\frac{a^2}{3}-(\frac{-a}{3})^2\). [V09, 1a)]
    6. Förenkla \((\sqrt{a}+1)^2-a-1\). [V10, 1b)]
  3. Kombinera rätt funktion med rätt derivatafunktion.
    Välj bland följande funktioner:

    Funktion Derivata funktion
  4. Välj rätt derivatafunktion för funktionen i fråga.
    Påstående
    \(f(x)=x-1\)
    \(g(x)=x^2+1\)
    \(h(x)=x+2\)
    \(i(x)=x^3+1\)
    \(j(x)=x^2-1\)
    \(k(x)=x^3-1\)
  5. Ordna följande instruktioner i rätt ordning så att algoritmen blir sann då vi undersöker funktioner.

    ”Utgå från derivatans nollställen och bilda ett teckenschema.”, ”Sök derivatans nollställen, lös alltså ekvationen \(f’(x)=0\).”, ”Derivera funktionen.” och ”Från teckenschemat vet du hur funktionen beter sig och var du hittar största och minsta värden.”.

    1.
    2.
    3.
    4.
  6. I figuren nedan visas grafen av derivatafunktionen \(f'(x)\) till en viss funktion \(f(x)\) i intervallet \(-2<x<3\).

    1. Bestäm utgående från grafen nollställena till derivatafunktionen \(f'(x)\).
    2. Bestäm det intervall då funktionen \(f\) är avtagande.
    3. Bestäm utgående från grafen de lokala extremställena för funktionen \(f(x)\) och vilka typer av extremställen är det frågan om?
  7. Bestäm
    1. \(D(x^2-1)(x+2)\)
    2. \(D\frac{x^2-1}{x+2}\)
    3. \(D(2x^2-1)^{14}\)
    4. \(D[x(x^2-1)^6]\)
  8. Bestäm \(\lim_{x \to 3} \frac{4x-12}{x^2-9}\).
  9. *Visa att funktionen \(f(x)=\left\{ \begin{array}{rl} -x^2+1 & , x \geq 0 \\ 2x+1 & , x <0 \\ \end{array}\right.\) är kontinuerlig i den reella talmängden.
  10. Ge exempel på en växande funktion \(f\) som uppfyller följande villkor
    1. \(f(0)=1\)

    2. \(f'(1)=2\)

    3. *\(f”(2)=0\)

  11. Bestäm för funktionen \(f(x)=x^2-4x\) ekvationen för tangenten i \(x=1\).
  12. *Bestäm de tangenter för funktionen \(f(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2\) som har riktningskoefficienten 2.
  13. *K Orvar tillverkar konserverad prinskorv. Han vill packa prinskorvarna i konservburkar med volymen 2,0 dl. Hans konservburksmaskin kan tillverka konservburkar som har diametern mellan 4,5 och 8,5 cm. Bestäm diameter och höjd för den burk som har den minsta materialåtgång.
  14. *Berätta hur funktionen \(f(x)=\frac{2x^2-4}{x^2-1}\) beter sig. När är den växande och avtagande. Hurdana extremvärden har den?
  15. *För vilket värde på \(b\) är talföljden \(a_n=\frac{bn-2}{n+6}, n=0,1,2,3,\ldots\) strängt växande?