4. Kontinuitet hos en funktion

Vi undersöker kontinuiteten hos funktionen

\(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x & \textrm{ , då } x<-1 \\ x^2-2 & \textrm{ , då } x\geq -1 \\ \end{array}\right.\)

Funktionen \(f\) består av två delar och ser ut som följande:

Polynomfunktionerna \(x\) och \(x^2-2\) är kontinuerliga. Den punkt som intresserar oss är skarven, då \(x=-1\). Frågan som vi ställer oss är: kan vi röra oss från väster och höger över skarvpunkten utan att falla ner genom ett hål i funktionen?

Vi tar och undersöker gränsvärdet i punkten \(x=-1\) genom att närma oss den från vänster och höger.

Från vänster får vi gränsvärdet\(\lim_{x \to -1_{-}} f(x)= \lim_{x \to -1_{-}} x = -1\)

och från höger \(\lim_{x \to -1_{+}} f(x)= \lim_{x \to -1_{+}} x^2-2 = (-1)^2-2 =-1\) .

Vi har samma gränsvärde i punkten \(x=-1\). För att ännu försäkra oss att funktionen är kontinuerlig bildar vi funktionsvärdet, \(f(-1) = (-1)^2-2 =-1\).

Eftersom alla tre har samma värde är funktionen kontinuerlig i \(x=-1\). Vi kan dra slutsatsen att \(f\) är kontinuerlig.

För att en funktion, \(f\) skall var kontinuerlig i en punkt, \(a\) skall

\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).

Eftersom vi kan bilda gränsvärdet från höger och vänster kan vi skriva det som är ovan som

\(\lim_{x \to a_{-}} f(x) = \lim_{x \to a_{+}} f(x)=f(a)\).

Exemepl 1 Är funktionen

\(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \textrm{, då } x=2 \\ x^3-2x^2-1 & \textrm{, annars } \\ \end{array}\right.\)

kontiunerlig i de reella talen?

Lösning

Funktionen består av en polynomfunktion, \(x^3-2x^2-1\), som är kontinuerlig. Vi undersöker punkten \(x=2\) genom att bilda gränsvärdena och jämföra dem med funktionsvärdet.

Gränsvärdet i punkten 2 är \(\lim_{x \to 2_{-}} f(x)= \lim_{x \to 2_{-}}x^3-2x^2-1 = 2^3 -2\cdot 2^2-1 = -1\) och \(\lim_{x \to 2_{+}} f(x)= \lim_{x \to 2_{+}}x^3-2x^2-1 = 2^3 -2\cdot 2^2-1 = -1\).

Funktionsvärdet är \(f(2)=1\). Eftersom \(\lim_{x \to 2} f(x) \not= f(2)\) så är funktionen inte kontinuerlig i de reella talen.

Exempel 2 Rita funktionen \(f(x)= \mid x^2-1 \mid\) och undersök om den är kontinuerlig.

VIDEO KOMMER

Uppgifter

  1. Är funktionerna kontinuerliga eller inte kontinerliga?
    Påstående Kontinuerlig Inte kontinuerlig (disskontinuerlig)


  2. Ändra på värdet för \(a\) genom att föra glidaren till vänster och höger. För vilket värde på <\(a\) är funktionen

    \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} -x +3 & \textrm{ , då } x\leq 2 \\ x+a & \textrm{ , då } x> 2 \\ \end{array}\right.\)

    kontinuerlig?

    1. Ersätt \(a\) med det värde du fick ovan och visa sedan att funktionen i uppgiften är kontinuerlig genom att bilda gränsvärdet och funktionsvärdet i skarvpunkten.
  3. Ändra på värdet för \(a\) genom att föra glidaren till vänster och höger. För vilket värde på \(a\) är funktionen \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} -x^2 +3 & \textrm{ , då } x<1 \\ x+a & \textrm{ , då } x\geq 1 \\ \end{array}\right.\)

    kontinuerlig?

    1. Ersätt \(a\) med det värde du fick ovan och visa sedan att funktionen i uppgiften är kontinuerlig genom att bilda gränsvärdet och funktionsvärdet i skarvpunkten.
  4. Välj rätt svar för påståendet. Det finns endast 1 st.

    För att en funktion skall vara kontinuerlig i en punkt \(x_0\) gäller att

    1. \(\lim_{x \to x_{0_{-}}} f(x)=\lim_{x \to x_{0_{+}}} f(x)\)
    2. \(\lim_{x \to x_{0_{-}}} f(x)=\lim_{x \to x_{0_{+}}}f(x) = f(x_0)\)
    3. \(\lim_{x \to x_{0_{-}}} f(x) = f(x_0)\)
    4. \(\lim_{x \to x_{0_{-}}} f(x)=\lim_{x \to x_{0_{+}}} f(x)= f(x)\)
  5. Är funktionen \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x^2-1 & \textrm{, då } x<2 \\ -x+5 & \textrm{, då } x \geq 2 \\ \end{array}\right.\)

    kontinuerlig i de reella talen?

  6. Är funktionen \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 2x-1 & \textrm{, då } x<2 \\ \frac{1}{2}x^2 & \textrm{, då } x \geq 2 \\ \end{array}\right.\)

    kontinuerlig i de reella talen?

  7. För vilket värde på \(a\) är funktionen \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 2x-1 & \textrm{, då } x<2 \\ \frac{1}{2}x^2+a & \textrm{, då } x \geq 2 \\ \end{array}\right.\)

    kontinuerlig?


  8. För vilket värde på \(a\) gäller att \(f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x+a &, x\geq -1 \\ -2x^2+1 &,x<-1 \\ \end{array} \right.\)

    är kontinuerlig?

  9. För vilket värde på \(a\) är funktionen \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x^2+a & \textrm{, då } x<-1 \\ x^3-x & \textrm{, då } x \geq -1 \\ \end{array}\right.\)

    kontinuerlig?

  10. * Visa att \(f\) är kontinuerlig oberoende värdet på \(a\)

    \(f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} x + a & x \geq 1 \\ ax^2 + 1 & x<1\\ \end{array} \right.\)

  11. *Visa att \(f(x)=\mid x-2 \mid\) är kontinuerlig.
  12. *Visa att \(f(x)=\mid x^2-x \mid\) är kontinuerlig.
  13. *Visa att \(f(x)=\mid x^2+a \mid\) är kontinuerlig oberoende av värdet på \(a\).