6. Derivatafunktionen

Efter att ha undersökt vad som krävs att funktioner är kontinuerliga och bestämt riktingskoefficienter för tangenter till funktioner är vi färdiga att på ett allmänt och teoretiskt sätt fortsätta vår färd mot derivering.

Vi tar och börjar se på derivatan och derivatafunktioner.

Vi tar och undersöker lutningen för tangenten i punkten \(x=1\) för \(f(x)=x^2-1\).

Då vi gör som i uppgiften i förra kapitlet anpassar vi in en linje. Det som vi kan göra i appletten nedan är att göra intervallet kortare genom att ändra på värdet för h genom att dra i glidaren.

Vad märker du?

Det som vi nu gör är att se på det på ett allmänt sätt. Det betyder att riktningskoefficienten \(k\) får vi som \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).

Vi tar nu och gör det helt allmänt och bestämmer ett uttryck för tangentens riktningskoefficent i punkten \(x_0\) för funktionen \(f\). För att bilda en triangel tar vi en punkt på avståndet \(h\) med koordinaterna \((x_0+h,f(h))\).

Vår triangel har höjden \(f(x_0+h)-f(x_0)\) och bredden \(x_0+h-x_0 = h\).

Vi får att \(k=\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\). När vi gör intervallet kortare och kortare får vi att \(\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) som ger oss riktningskoefficienten för tangenten i punkten \(x_0\). Vi talar om att vi har derivatans värde i punkten \(x_0\). Vi betecknar derivatans värde i punkten \(x_0\) som \(f'(x_0)\).

Exempel 1 Vi bestämmer derivatans värde i punkten \(x=1\) för funktionen \(f(x)=x^2-1\).

Lösning

Vi får

\(\begin{array}{rcl}f'(1) &=& \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x)}{h} \\ &=& \lim_{h \to 0} \frac{((1+h)^2-1)-(1^2-1)}{h}\\ &=& \lim_{h \to 0} \frac{1+2h+h^2-1-0}{h} \\ &=& \lim_{h \to 0} \frac{h(2+h)}{h} \\ &=& \lim_{h \to 0} 2+h \\ &=& 2\end{array}\).

Derivatans värde i punkten 1 är 2.

Exempel 2 Bestäm derivatafunktionen för \(f(x)=x^2-1\).

Det som vi gjort ovan är att undersöka funktioners derivata med hjälp av definitionen för derivatan. När vi undersöker funktioner är det inte alltid vettigt att varje gång bilda derivatafunktioner via gränsvärde. Det som vi utnyttjar är räkneregler.

Derivatan av \(x^n\), \(D x^n = n \cdot x^{n-1}\).

Beteckningen \(D\) betyder att funktionen skall deriveras. En annan beteckning är \(\frac{d}{dx}\). Här får vi reda på mot vilken variabel som vi skall derivera.

För att bevisa det behöver i exponentialfunktioner, som kommer i kurs 8.

Exempel 3 Derivera \(x^3-2x^2-\frac{1}{2}x-4\).

Uppgifter

  1. Kombinera rätt funktion med rätt derivatafunktion. Välj mellan \(x-1\), \(x^2-1\) och \(x^3-1\).
    Funktion Derivatafunktion
    \(1\)
    \(2x\)
    \(3x^2\)
  2. Bestäm derivatans värde i punkten 3 för funktionen \(f(x)=x^2-1\).

  3. Bestäm derivatans värde i punkten 2 för funktionen \(f(x)=3x^2-x\).

  4. Bestäm derivatans värde i punkten 0 för funktionen \(f(x)=x^2-x\).

  5. Bestäm
    1. \(D(3x^2-1)\)
    2. \(D(-2x^3+x)\)
    3. \(D(\frac{1}{4}x^4-x^2+2)\)
  6. Bestäm derivatans värde i punkten 3 för funktionen \(f(x)=x^2-1\) genom att bilda ett gränsvärde.

  7. Bestäm derivatans värde i punkten 0 för funktionen \(f(x)=x^2-x\) genom att bilda ett gränsvärde.

  8. Kryssa för de rätta alternativen för funktionens derivatafunktion.
    Påstående \(f(x)=x-2\) \(f(x)=x-3\) \(f(x)=x^2-2\) \(f(x)=x^2-3\) \(f(x)=x^3-2\) \(f(x)=x^3-3\)
    \(f'(x)=1\)
    \(f'(x)=2x\)
    \(f'(x)=3x^2\)
  9. Inom fysiken utnyttjar man aktivt derivator. Bestäm följande derivator.
    1. \(\frac{d}{dt}(x_0+v_0t +\frac{1}{2}at^2)\)
    2. *\(\frac{d}{dt}(Fv)\)
  10. *I vilken punkt har derivatan för funktionen \(f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x\) värdet 2?

  11. *I vilken \(x\)-koordinat har derivatan för funktionen \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2-4\) värdet 0?.