8. Hur en funktion beter sig

Vi tar och undersöker funktionen \(f(x)= x^3-3x^2-1\) i de punkter där derivatan har värdet 0.

I exemplet ovan märkte vi att funktionen byter riktning i de punkter där derivatan, \(f'(x)=0\). Vidare märkte vi att då \(f'(x)>0\) är funktionen växande och då \(f'(x)<0\) är funktionen avtagande.

Vi kan analysera och skissa upp funktioner genom att analysera deras derivatafunktion.

Exempel 1 Bestäm största och minsta värdet för funktionen \(f(x)=x^4-4x^2-2\). Berätta dessutom när den är avtagande och växande.

Exempel 2 Bestäm största och minsta värdet för funktionen \(f(x)=-x^3+2x^2-1\) då \(-1\leq x \leq 1\).

När vi bestämmer hur en funktion beter sig utför vi följande algoritm, recept:

  1. Derivera funktionen.
  2. Sök derivatans nollställen, lös ekvationen \(f'(x)=0\).
  3. Utgå från derivatans nollställen och bilda ett teckenschema. I teckenschemat gäller att sätta in punkter i derivatafunktionen.
  4. Från teckenschemat vet du hur funktionen beter sig och var du hittar största och minsta värden. Funktionen är växande då derivatan är positiv och avtagande då derivatan är negativ.

Har du en funktion som är definierad i ett intervall gäller att största och minsta värdet hittar du i de punkter där \(f'(x)=0\) eller i intervallets ändpunkter.

Vi kan antingen ha lokala eller globala största och minsta värden, maximum och minimum. Lokala maximum och minimum gäller i en omgivning. Globala maximum och minimum gäller för hela funktionen.

All derivering och undersökande av funktioner kan du göra på räknaren. Kom ihåg att räknaren är ett hjälpmedel. För att förstå vad räknaren gör så lönar det sig att kunna undersöka funktioner utan räknare.

Hur vi undersöker funktioner på GeoGebra

VIDEO

Uppgifter

  1. Bestäm ordningen på följande instruktioner så att följden blir logisk.

    Välj bland följande instruktioner: ”Utgå från derivatans nollställen och bilda ett teckenschema.”, ”Derivera funktionen.”, ”Från teckenschemat vet du hur funktionen beter sig och var du hittar största och minsta värden.” och ”Sök derivatans nollställen, lös alltså ekvationen \(f'(x)=0\).”

    1.
    2.
    3.
    4.
  2. Bestäm extremvärden för funktionen \(f(x)=-2x^3+6x\).
  3. Bestäm extremvärden för funktionen \(f(x)=-2x^3+3x^2\).
  4. Bestäm extremvärden för funktionen \(f(x)=x^4-4x^2+2\).
  5. Funktionerna har du till vänster och derivatafunktionerna till höger. Kombinera rätt funktion med rätt derivatafunktion.

    Välj bland dessa:

    Funktion Derivatafunktion
  6. *Bestäm extremvärdena för funktionen \(f(x)=-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2\).
  7. Bestäm när funktionen \(f(x)=x^3-3x^2+1\) är växande och avtagande.
  8. Bestäm när funktionen \(f(x)=x^4-x^2\) är växande och avtagande.
  9. Bestäm största och minsta värdet för funktionen \(f(x)=x^3-2x^2\) i intervallet \([-1,2]\).
  10. Bestäm största och minsta värdet för funktionen \(f(x)=x^4-2x^2\) i intervallet \(-1\leq x \leq 2\).
  11. *Bestäm extremvärdena för funktionen \(f(x)=-x^3-x\).