9. Tillämpningar

Grattis! Då har du egentligen kommit så långt att allt efter detta är bara tillämpning av det som du hittills har lärt dig. Vi fortsätter med att se på tillämpningar.

Exempel 1 De flesta flygbolag tillämpar för handbagaget 115 cm regeln som betyder att summan av längden, bredden och höjden maximalt 115 cm. Bestäm största möjliga volym för en resväska som är dubbelt så lång som bred.

Exempel 2 Då en butikschef sänker priset på en vara med p % ökar försäljningen 1,4p. Med hur många procent skall butikschef sänka priset för att vinsten skall vara så stor som möjligt?

Exempel 3 Golden Gate bron är en så kallad hängbro. Det betyder att den hänger med hjälp av vajrar som är fästa vid pelare, se bild.

Vid vilken punkt lutar vajern som mest mellan pelarna?

VIDEO

RegressionPoly

Exempel 4 En talföljd defineras som \( a_n = \frac{1}{n^2+1}, n \in \mathbb{N}\). Visa att talföljden är strängt avtagande.

I funktionen ovan har vi något som är en sammansatt funktion. Hur vi deriverar sammansatta funktioner kommer i kurs 7. Exemplet och videon är från gamla läroplanen och skall hitta en ny plats. Tanken att visa att en talföljd är monotom gäller dock.

För att bestämma punkter där vi har största eller minsta förändringar undersöker vi andra derivatan, \( f”\). Det betyder att vi deriverar derivatafunktionen \( f’\).

Uppgifter

  1. En butikschef som säljer jeans märker att för varje 5 € som hen höjer priset så säljer hen 10 par mindre jeans per vecka. Hur mycket skall hen ändra på priset för att maximera sina intäkter då hen nu säljer jeans för 75 € styck och då går det åt 80 par i veckan? Vad blir hens intäkter efter prisjusteringen?

  2. Från ett A4 ark (210 x 297 mm) klipper man bort kvadrater i varje hörn och viker upp sidorna så att vi får en ask. Hur stora kvadrater skall vi klippa bort då vi vill ha så stor volym på asken som möjligt?

  3. För ett akvarie finns det 8,0 m metallist för att bygga kanterna av. Bestäm dimensionerna för det akvarie där sidoytorna är formade som kvadrater och som har maximal volym.

  4. Två hörn av en rektangel är på parabeln \(f(x)=-x^2+4\) och två på \(x\)-axeln. Bestäm arean av den största rektangel som ryms in under parabeln.
  5. Akashi Kaikyō är en hängbro i Japan som sammanbinder Kobe på Honsu med Iwaya på ön Awaj. Bron blev färdig 1998 och med sina 1991 m mellan centralspannet var det det längsta i världen för en hängbro. En bild av bron ser du nedan.

    Bestäm den största lutningen som bilvägen har på bron. Bilden kan du ladda ner genom att klicka på den.

    Mera fakta om bron hittar du på Wikipedia.


  6. Temperaturen en vårdag beskrivs med funktionen \(f(t)=-\frac{1}{200} t^{3} + \frac{23}{200} t^{2} – \frac{51}{100} t + 5\) där \(t\in [0,24]\).

    Bestäm

    1. största och minsta temperaturen för vårdagen i fråga.
    2. *vilken tid på dygnet temperaturförändringen är störst.

  7. Läget för en kropp i röresle får vi genom sambandet \(x(t)=x_0 + v_0 t +\frac{1}{2}at^2\).(Detta samband borde vara bekant från fysiken, kurs 4.)
    1. Derivera funktionen \(x(t)\) med avsende på \(t\), tiden. Vad får vi för formel?
    2. *Derivera funktionen som du fick i a-fallet. Vad får vi då?
  8. *Låt \(a_n=n^2-2\), då \(a\in \mathbb{N}\). Visa att talföljden är strängt växande.

  9. *Låt \(a_n=\frac{2}{n^2}\) då \(n=1,2,3,\ldots\). Visa att talföljden är strängt avtagande.