10. Derivatan av en sammansatt funktion

När vi deriverar sammansatta funktioner använder vi oss av att \(D f(g)=f'(g)\cdot g’\). Denna regel kallas för kedjeregeln.

För att bevisa det behöver vi förståelse och kunskap som behandlas på universitet. Vi kan motivera det genom följande uträkningar.

Exempel 1 Bestäm \(D(2x-1)^2\)

Lösning

Yttre funktionen är \(x^2\) och den inre är \(2x-1\). Vi får \(D(2x-1)^2=2(2x-1)^1\cdot2 = 4(2x-1)\).

För en potensfunktion är det ingen skillnad om vi deriverar den som en sammansatt funktion med kedjeregeln eller som en funktion med en exponent. Men träna för övningens skull att derivera följande uttryck som sammansatta funktioner!

Uppgifter

  1. Repetera deriveringsreglerna genom att kombinera rätt. Välj mellan \(D x^n, D f(x) \cdot g(x), Dk, D(f(x) + g(x)), D\frac{f(x)}{g(x)}, D f(x)^n\) och kombinera dem med
    \(
    \begin{array}{rl}
    \text{Formel} & \text{resultat av derivering} \\
    &= nx^{n-1}\\
    &=0 \\
    &= f'(x) + g'(x)\\
    & = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\\
    & =\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}\\
    &=n f(x)^{n-1} \cdot f'(x) \\
    \end{array}
    \)
  2. Kombinera rätt derivering med rätt resultat. Välj mellan \(D(3x^2-x), D[(x-1)(x^2+1)], D 2x^2, D(2x^2-1)^3, D(2x-1)^3, D(3x^2-4), D x(3x+1), D x^2, D\frac{x^2+2}{x-1}, D\frac{x^2-2}{x-1} \) och följande uträkningar:
    \(
    \begin{array}{rl}
    &= 2x \\
    &=4x \\
    &=6x-1 \\
    &=6x \\
    &= 1(3x+1)+x\cdot (3-0) = 6x+1 \\
    &= 1(x^2+1)+(x-1)\cdot 2x = 3x^2-2x+1 \\
    &= \frac{2x(x-1)-1(x^2-2)}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x+2)}{(x-1)^2} \\
    &= \frac{2x(x-1)-1(x^2+2)}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x-2)}{(x-1)^2} \\
    &= 6(2x-1)^2 \\
    &= 12x(2x^2-1)^2\\
    \end{array}
    \)
  3. Bestäm \(D(2x-1)^3\).
  4. Bestäm \(D(3x+4)^5\)
  5. Bestäm \(D(x^2-2)^7\).
  6. Bestäm \(D(x^3-2x)^4\).
  7. Låt \(f(x)=(3x^2-1)^4\). Bestäm de punkter där \(f'(x)=0\).
  8. \(\sqrt{a}\) kan vi skriva och behandla som \(a^{\frac{1}{2}}\).
    1. Bestäm \(D\sqrt{x^2-1}\).