11. Derivatan för trigonometriska funktioner

I det föregående kapitlet märkte vi att det finns ett samband mellan sinus och cosiuns, det finns en symmetri mellan hur de ser ut och beter sig. Dessutom vet vi hur vi deriverar sammansatta funktioner. Nu är det bara att tillämpa den kunskapen.

På grund av symmetrin mellan sinus och cosinus är deras derivator följande

\(D\sin x = \cos x\)
\(D\cos x = -\sin x\)

Exakta härledningar för sinus och cosinus hittar du i ”Härledningen för derivatan av sinus och cosinus”.

Exempel 1 Bestäm derivatan av \(2\sin x\).

Lösning

Vi har \(D2\sin x = 2D\sin x = 2\cos x\).

Exempel 2 Derivera \(\cos^2x\).

Lösning

Vi har en sammansatt funktion. Yttre funktionen är \(x^2\) och den inre är \(\cos x\). Sammansatta funktioner deriverar vi som \(Df(g)=f'(g)g’\).

Vi får \(2\cos x \cdot (-\sin x)=-2\cos x \sin x = -\sin 2x\).

Exempel 3 Bestäm derivatan av \(2\sin x \cos x\).

Lösning

Vi har en produkt av två funktioner, dessa deriverar vi som \(Dfg = f’g + g’f\).

\(D2\sin x \cos x = 2(\cos x (-\sin x) -\sin x \cdot \cos x = -2\sin x \cos x -\sin x \cos x = -3 \sin x \cos x\).

Alternativ märker vi att \(2\sin x \cos x = \sin 2x\). Då har vi en sammansatt funktion och derivatan blir \(D\sin 2x = \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x\).

Exempel 4 Bestäm \(D\tan x\).

Lösning

\(D\tan x = D\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x D\sin x – \sin x D\cos x}{\cos^2 x} =\frac{\cos x \cdot \cos x -\sin x (-\sin x )}{\cos^x} = \frac{\cos^2x +\sin^2 x}{\cos^2x}\).

Härifrån kan vi fortsätta på två sätt.

\(\frac{\cos^2x +\sin^2 x}{\cos^2x} = \frac{\cos^2 x}{\cos^2x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2x} = 1+\tan^2 x\).

Eller som

\(\frac{\cos^2x +\sin^2 x}{\cos^2x} = \frac{1}{\cos^2x}\).

Derivatan för tangens kan vi skriva på två olika sätt

\(D\tan x = \frac{1}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x\)

Exempel 5 Bestäm derivatan av \(\tan 4x+\pi\).

Lösning

Vi har en sammansatt funktion, \(\tan 4x\) och konstanten \(\pi\).

\(D(\tan 4x+\pi) = 4(1+\tan^2 (4x)) = 4 +4\tan^2 4x\).

Eller som \(D(\tan 4x +\pi)= 4\cdot \frac{1}{\cos^2 4x} = \frac{4}{\cos^2 4x}\).

Uppgifter

  1. Bestäm
    1. \(D4\sin x\).
    2. \(D\sin 4x\).
    3. \(D4\sin (4x^2)\).
  2. Bestäm
    1. \(D(\cos 3x)\).
    2. \(D(\cos 3x^2)\).
    3. \(D(\cos (4x-\pi))\).
  3. Bestäm
    1. \(D\tan (3x^2)\).
    2. \(D2\tan 3x\).
    3. \(D\tan (x^2-x)\).
  4. Derivera \(\frac{1}{\sin x}\).
  5. Derivera \(\frac{1}{\cos^2 x}\).
  6. Bestäm riktningskoefficeinten för tangenten för funktionen \(f(x)=\sqrt{2}\sin x + 5\sqrt{2}\cos x\) i punkten \(\frac{\pi}{4}\).
  7. Bestäm tangenten för funktionen \(\sin (2x)\) i origo.
  8. Bestäm de punkter där funktionen \( f(x)= 2\cos (\frac{x}{\pi})\) byter riktning.
  9. Rita upp funktionen och visa att funktionen \( f(x)= \tan x^2 \) endast byter riktning i \( x = 0\).