12. Härledning av deriveringsformlerna för sinus och cosinus

Detta kapitel är fördjupning och behandlar härledningen för deriveringsformlerna för sinus och cosinus.

Vi visar att \(D \sin x = \cos x\).

Vi arbetar med definitionen av derivatafunktionen, \(f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\).

Derivatan av \(D\sin x = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) -\sin x}{h}.\)

Summaformeln för \(\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y\). Vi får att \(D\sin x = \lim_{h\to 0} = \frac{[\sin x \cos h + \cos x \sin h]-\sin x}{h}.\)

Vi ordnar termerna och får: \( \lim_{h\to 0} = \frac{\cos x \sin h- \sin x+ \sin x \cos h}{h}.\)

Vi fortsätter med att bryta ut \( \lim_{h\to 0} = \frac{\cos x \sin h- \sin x(1- \cos h)}{h}.\)

Sedan delar vi upp gränsvärdet, \( \cos x\lim_{h\to 0}\frac{ \sin h}{h} -\sin x \lim_{h\to 0}\frac{(1- \cos h)}{h}\).

Till nästa tar vi och studerar gränsvärdena. \(\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}\) närmar sig 1

och \(\lim_{h \to 0}\frac{1-\cos x}{x}\) närmar sig 0.

Vi får att \(= \cos x\cdot 1 -\sin x \cdot 0.\)

Alltså \(D\sin x = \cos x\).

För \(D\cos x = -\sin x\) kan vi göra exakt som ovan, det kan du göra i första uppgiften, eller så kan du derivera \(\cos x\) genom att använda dig av kedjeregeln, andra uppgiften.

Uppgifter

  1. Härled \(D\cos x = -\sin x\) på motsvarande sätt som gjordes gjorde ovan.
  2. Visa att \(D\cos x = -\sin x\) genom att utnyttja deriveringsregeln för en sammansatt funktion.