13. Undersökning av trigonometriska funktioner

Sedan är det dags att börja undersöka hur trigonometriska funktioner beter sig.

Exempel 1 I vilka punkter får funktionen \(f(x)=2\sin(\pi +x)\) sina största och minsta värden? Vilket är detta värde?

Lösning

För sinus gäller att \(-1\leq \sin x \leq 1\). För \(2\sin x\) gäller då att \(-2 \leq 2\sin x \leq 2\). Största värdet är \(2\) och minsta värdet är \(-2\).

Nu bestämmer vi bara de punkter där dessa värden uppnås.

\(f'(x)=2\cos(\pi+x)\cdot 1 = 2\cos(\pi +x)\). Till nästa söker vi de punkter där tangenterna för funktioner har riktingskoefficienten 0. Eftersom \(2\sin(\pi +x)\) har perioden \(2\pi\) så räcker det att vi undersöker \(f\) i detta intervall.

\(\begin{array}{rcl} f'(x)&=&0 \\ 2\cos(\pi +x)&=&0 \\ \cos(\pi + x)= &=& 0 \\ \pi + x &=& \frac{\pi}{2}+n\cdot \pi , n\in \mathbb{Z} \\ x & = & \frac{\pi}{2}- \pi +n\cdot \pi \\ x &=& -\frac{\pi}{2} +n\cdot \pi \\ x &=& \frac{\pi}{2} +n\cdot \pi , n \in \mathbb{Z}\\ \end{array}\)

Våra rötter är alltså \(\frac{\pi}{2}\) och \(\frac{3\pi}{2}\). Eftersom vi undersöker funktionen i ett intervall testar vi även med intervallets ändpunkter.

\(f(\frac{\pi}{2})=2\sin(\pi + \frac{\pi}{2})=2\sin(\frac{3\pi}{2})=2\cdot (-1) = -2\) och
\(f(\frac{3\pi}{2})=2\sin(\pi + \frac{3\pi}{2})=2\sin(\frac{5\pi}{2})=2\cdot 1 = 2\)
\(f(0)=f(2\pi)=2\sin(\pi +0)=2\cdot 0 = 0\).

Minsta värden får funktionen i punkterna \(\frac{\pi}{2} + n\cdot 2\pi\) och största värdena i \(\frac{3\pi}{2} + n\cdot 2\pi\) där \(n \in \mathbb{Z}\).

Exempel 2 Bestäm de gemensamma punkterna för \(f(x)=\sin 2x \) och \(g(x)=3\cos x\).

Lösning

Vi har \(f(x)=g(x)\), alltså \(\sin 2x = 3\cos x\).

Vi får
\(\begin{array}{rcll} \sin 2x &=& 3\cos x &| \quad \sin 2x = 2\sin x \cos x \\ 2 \sin x \cos x &=& 3\cos x \\ 2 \sin x \cos x – 3\cos x &=&0\\ \cos x (2\sin x – 3) &=& 0 \\ \end{array}\)

Alltså \(\cos x = 0\) då \(x=\frac{\pi}{2} + n\pi , n \in \mathbb{Z}\) eller \(2\sin x -3 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{3}{2}\) som saknar lösningar eftersom \(-1\leq \sin x \leq 1\).

De gemensamma punkterna är \(x=\frac{\pi}{2} + n\pi , n \in \mathbb{Z}\).

I MaA 8 löser vi följande upppgift genom att bilda en funktion med en rot. Nu tittar vi på hur vi löser den genom att utnyttja en vinkel.

Exempel 3 Från en ö som befinner sig 2,5 km från kusten skall man dra en elkabel till närmaste transformator i elnätet. Närmaste transformator befinner sig 7,0 km från ön då man följer strandlinjen. Att dra kabel genom havet kostar 35 €/m och att dra på land kostar 10 €/m. Bestäm hur man borde dra kabeln så att det kostar så litet som möjligt? Vad kostar det då?

Uppgifter

  1. Välj för funktionerna rätt värdemängd och period.

    Påstående Värdemängden \( [-1,1]\) Värdemängden \( [0,2]\) Värdemängden \( [-2,2]\) Perioden \( \pi\) Perioden \( 2\pi\)
    \( 2\sin x\)
    \( \sin x\)
    \( 2\sin 2x\)
    \( 1+\cos 2x\)
    \( \sin 2x\)
    \( 2\cos x\)
    \( \cos x\)
    \( 2\cos 2x\)
    \( 1+\sin x\)
    \( 1+\sin 2x\)
    \( \cos 2x\)
    \( 1+\cos x\)
  2. Kombinera så att följden för algoritmen är sann för hur vi undersöker en trigonometrisk funktion.

    Välj bland följande: ”Beakta periodiciteten eller intervallet som du arbetar med.”, ”Derivera funktionen.”, ”Från teckenschemat vet du hur funktionen beter sig och var du hittar största och minsta värden.”, ”Svara på uppgiften.”, ”Sök derivatans nollställen, lös alltså ekvationen \( f'(x)=0\).” och ”Utgå från derivatans nollställen och bilda ett teckenschema.”.

    Vad vi skall göra Ordning
    1.
    2.
    3.
    4.
    5.
    6.
  3. Bestäm största och minsta värde för funktionen \( f(x)=2\sin x \). I vilka punkter får funktionen sina största och minsta värden?
  4. Bestäm största och minsta värde för funktionen \( f(x)=2\cos(x-\pi) \). I vilka punkter får funktionen sina största och minsta värden?
  5. Bestäm största och minsta värde för funktionen \(f(x)=\sin x – \cos x\). I vilka punkter får funktionen sina största och minsta värden?
  6. Bestäm de gemensamma punkterna för \( y=\sin 2x\) och \( y=\sin x\).
  7. Bestäm de intervall där funktionen \( f(x)=\sin \frac{x}{\pi}\) är avtagande.

  8. Bestäm de gemensamma punkterna för \( f(x)=\sin 2x\) och \( g(x)=3\cos x\).
  9. Lös ekvationen \( \cos^2 x +\sin x -1 =0\).
  10. Lös ekvationen \( \sin^2 x -\cos x =-1\).
  11. Bestäm tangenterna för funktionen \( f(x)=2\cos x\) som har lutningen 1.
  12. Radien för en halvcirkel är 1. I halvcirkeln är ritat en rektangel så att ena kanten av rektangeln är på halvcirkelns diameter. Vilka dimensioner, längd och bredd, har den rektangel som har den största arean. Arbeta utifrån en vinkel.

  13. *Annas morfar som bor i en stuga mitt i skogen. Till stugan kommer man längs en 4,5 km lång rak skogsstig. Från korsningen av skogsstigen och landsvägen finns en transformator på avståndet 12,5 km. Annas morfar vill ha el till stugan och behöver din hjälp så att det är så billigt för honom som möjligt. Det lokala elbolaget erbjuder att dra el genom skogen och längs med landsvägen. Att dra elkabel genom skogen kostar 20 €/m och att dra längs med landsvägen kostar 8 €/m. Vad kostar det som billigast? Lös uppgiften genom att utnyttja en vinkel.
  14. *Annas farmor bor på en ö som är 1,5 km väst från fastlandet. Rakt norrut längs med fastlandet finns ett postkontor på avståndet 6,0 km. Annas farmor ror med hastigheten 1,0 km/h och går med hastigheten 2,0 km/h. Bestäm den kortaste tid det tar för henne att föra post till postkontoret. Lös uppgiften genom att utnyttja en vinkel.