3. Egenskaper för sinus och cosinus

Du kanske märkte från föregående kapitel att det finns en hel del symmetri med sinus och cosinus.

Då vi speglar vinklarna genom x-axeln och y-axeln får vi följande symmetri. Då vi speglar vinkeln \(\alpha \) genom x-axeln får vi vinkeln \( -\alpha\). X-koordinaterna för punkten på enhetscirkeln är samma, för y-koordinaterna gäller det att de är motsatta. Vi får följande samband

  • \( \cos \alpha = \cos(-\alpha) \)
  • \( \sin \alpha = -\sin(-\alpha) \)

Då vi speglar mot y-axeln får vi vinklarna \( \alpha \) och\( 180^{\circ} – \alpha = \pi-\alpha\). Ny hålls y-koordinaterna samma medan x-koordinaterna blir motsatta. Vi får följande samband

  • \( \cos \alpha = -\cos(\pi – \alpha) \)
  • \( \sin \alpha = \sin(\pi- \alpha)” \)

Exempel 1 Bestäm de vinklar som uppfyller villkoret \( \cos \alpha = 0,75\).

Lösning

Räknaren ger oss att en vinkel är \( 41,4^{\circ}\). Förutom den ena vinkeln på \( 41,4^{\circ}\) har vi en ny varje varv, \( 360^{\circ} \), senare och en ny ett varv efter det. Vi kan skriva dessa lösningar som \( 41,4^{\circ} + n \cdot 360^{\circ}\) där n är ett heltal, \( n \in \mathbb{Z}\).

Dessutom har vi vinkeln som uppstår då vi speglar mot x-axeln, \( -41,4^{\circ} \). För dessa vinklar gäller samma, det finns oändligt många som kommer varje helt varv \( 360^{\circ}\). Dessa lösningar kan vi skriva som \( -41,4^{\circ} + n \cdot 360^{\circ} \) där n är ett heltal, \(= in \in \mathbb{Z}\).

Exempel 2 Bestäm de vinklar som uppfyller villkoret \( \sin \alpha = 0,65\).

Lösning

Räknaren ger oss att en vinkel är \( 40,5^{\circ}\). Förutom att vid vinkeln som är \(40,5^{\circ}\) så har vi oändligt många lösningar som kommer varje helt varv. Vi skriver lösningarna som \( 40,5^{\circ} + n\cdot 360^{\circ} \) där n är ett heltal.

Dessutom har vi vinklar som får värdet 0,65 då vi speglar genom y-axeln. De är av storleken \( 180^{\circ} – 40,5^{\circ} = 139,5^{\circ}\). Även dessa vinklar uppkommer varje varv, \(360^{\circ}\). Dessa lösningar skriver vi som \( 139,5^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}\) där n är ett heltal.

Eftersom vi behandlar \(\cos \alpha\) och \( \sin \alpha \) som koordinater i en rätvinklig triangel får vi följande samband.

Längden på kateterna i triangeln är \( \mid \cos\alpha \mid\) och \( \mid \sin\alpha \mid \). Hypotenusans längd är 1. Vi utnyttjar Pythagoras sats. \(\mid \cos\alpha \mid^2 + \mid \sin\alpha \mid^2 = 1^2\). \((\cos\alpha)^2\) skriver vi som \( \cos^2\alpha\).

Vi får alltså att \( \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1\).

Exempel 3 Låt \( \sin \alpha = \frac{2}{3}\). Bestäm \( \cos \alpha \) då \( 0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}\).

Lösning

Vi utgår från \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) och skriver den som \( \cos \alpha = \pm\sqrt{1-\sin^2 \alpha}\).

Eftersom \( 0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}\) så är \( \cos \gt 0\).

Vi får att \( \cos \alpha = \sqrt{1-\sin^2 \alpha} = \sqrt{1-(\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \).

Egenskaper för sinus och cosinus är följande:

\( \cos \alpha = \cos(-\alpha) = -\cos(\pi – \alpha)\)
\( \sin \alpha = -\sin(-\alpha) = \sin(\pi- \alpha)\)

Dessutom har vi följande samband \( \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 \).

Uppgifter

  1. Skriv av tabellen i ditt häfte och välj rätt värde för sinus och cosinus för vinklarna.
    Påstående -1 0 1
    \( \sin 0 \)
    \(\cos 0 \)
    \( \sin \frac{\pi}{2}\)
    \( \cos \frac{\pi}{2} \)
    \( \sin \pi\)
    \( \cos \pi\)
    \( \sin \frac{3\pi}{2}\)
    \( \cos \frac{3\pi}{2}\)
    \( \sin 2\pi\)
    \(\cos 2\pi\)
    \(\sin 3\pi\)
    \(\cos 3\pi\)
  2. Bestäm vinkeln för följande periferipunkter (0,1), (-1,0) och \( (\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})\).
  3. För vilka värden på \( \alpha\) gäller att \( \sin \alpha = 1\)?
  4. Bestäm de vinklar som uppfyller ekvationen \( \cos \alpha +1=0\) då \( 0 \lt \alpha \lt 2\pi\).
  5. Bestäm exakt värde av \( \sin \alpha \) då \( \cos \alpha = -\frac{3}{4}\) och \(\frac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi\).
  6. Bestäm exakt värde av \( \cos \alpha\) då \( \sin \alpha = \frac{2}{5}\) och \( 0 \lt \alpha \lt \frac{\pi}{2}\).
  7. Bestäm exakt värde av \(\sin \alpha\) då \( \cos\alpha = \frac{1}{2}\) och \( \frac{3\pi}{2} \lt \alpha \lt 2\pi\).
  8. Bestäm exakt värde av \( \cos \alpha\) då \(\sin\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}\) och \(\pi \lt \alpha \lt \frac{3\pi}{2}\).
  9. Lös ekvationen \(\sin \alpha \cos \alpha =0\).
  10. *För vilket värde på konstanten n har vinkeln \( \alpha + n\cdot\frac{\pi}{2}\) och \( \alpha\) samma periferipunkt?