4. Ekvationer med sinus

Vi har tidigare märkt att i en enhetscirkel ger sinus för en vinkel y-koordinaten för periferipunkten, punkten på cirkeln. Då vi speglar periferipunkten i y-axeln märker vi att på bägge sidor om y-axeln har vi en vinkel som ger samma värde.

I bilden gäller att \(\alpha = \pi – \beta\). Vi får att ekvationen \(\sin \alpha =a\) har två lösningar. Vinklarna \(\alpha_0\) och supplementvinkeln \(180^{\circ} -\alpha_0\). Dessutom gäller att när vi har gått ett helt varv, \(2\pi”\), får vi samma värde. Vi talar om att vi har vinklarna \(\alpha_0\) och \(\pi -\alpha_0\) och deras multiplar, \(n\cdot 2\pi\).

Lösningarna skriver vi som

  • \(\alpha = \alpha_0 + n\cdot 360^{\circ}\) och
  • \(\alpha = 180^{\circ}-\alpha_0 + n\cdot 360^{\circ}\) där n är ett heltal

eller som

  • \(\alpha = \alpha_0 + n\cdot 2\pi\) och
  • \(\alpha = \pi-\alpha_0 + n\cdot 2\pi\) där n är ett heltal.

Exempel 1 Bestäm de vinklar så att \(\sin 2 \alpha = 1\)

Lösning

Vi vet att för \(\sin \alpha = 1\) gäller att \(\alpha = \frac{\pi}{2}\).

Det betyder att \(2\alpha = \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}\).

Eftersom perioden för sinus är \(2\pi\) måste vi även beakta den när vi löser ekvationen.

Vi får

\(\begin{array}{rcll} 2 \alpha &=& \frac{\pi}{2} + n\cdot 2 \pi & | /2\\ \\ \alpha &=& \frac{\pi}{4} + n\cdot \pi \end{array}\)

där n är ett heltal, \(\mathbf{Z}\).

Exempel 2 Bestäm de vinklar som det gäller att \(\sin \alpha = \sin 2\alpha\).

Lösning

De vinklar som uppfyller villkoret är de vinklar där \(\alpha = 2\alpha\) och supplementvinklarna \(\alpha = \pi – 2\alpha\). För för vinklarna gäller att värdena upprepas med en viss period, \(2\pi\).

Vi får att
\(\begin{array}{rclcrcl} \sin \alpha &=& \sin 2\alpha \\ \alpha &=& 2\alpha + n\cdot 2\pi &\text{ eller } & \alpha &=&\pi – 2\alpha + n\cdot 2\pi \\ -\alpha &=& n\cdot 2\pi &\text{ eller }& 3\alpha &=& \pi + n\cdot 2\pi \\ \alpha &=& n\cdot 2\pi &\text{ eller }& \alpha &=& \frac{\pi}{3} + n\cdot \frac{2\pi}{3}, n \in \mathbb{Z} \\ \end{array}\)
Märk att \(-\alpha = n\cdot 2\pi \Leftrightarrow \alpha = n\cdot 2\pi\) eftersom n är ett heltal.

För ekvationer med sinus gäller följande

Ekvationen \( \sin \alpha = a\)

\(\alpha = \alpha_0 + n\cdot 360^{\circ}\) och
\(\alpha = 180^{\circ}-\alpha_0 + n\cdot 360^{\circ}\) där n är ett heltal

eller som

\(\alpha = \alpha_0 + n\cdot 2\pi\) och
\(\alpha = \pi-\alpha_0 + n\cdot 2\pi\) där n är ett heltal.

Sinus på räknaren

Ekvationen \(\sin \alpha = 0,6\) kan man lösa på olika sätt på räknare

  • På en vanlig räknare skriver man in sin-1 (0,6). Den vinkel som du får är i intervallet 0 till 90o, 0 till \(\frac{\pi}{2}\) radianer. Resten lösningar får du med hjälp av enhetscirkeln.
  • På räknarprogram (GeoGebra, TI-Nspire CAS) gäller solve(sin x = 0.6,x). Eftersom de vill ge exakta värden är kommandot nsolve i bland bättre.

Uppgifter

  1. Bestäm de exakta värdena av sinus för följande vinklar
    0 \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 1
    \(\sin 0\)
    \(\sin \frac{\pi}{6}\)
    \(\sin \frac{\pi}{4}\)
    \(\sin \frac{\pi}{3}\)
    \(\sin \frac{\pi}{2}\)
    \(\sin \frac{2\pi}{3}\)
    \(\sin \frac{3\pi}{4}\)
    \(\sin \frac{5\pi}{6}\)
    \(\sin \pi\)
  2. Lös ekvationen \(\sin 3\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
  3. Lös ekvationen \(\sin \frac{\alpha}{6}=0\)
  4. Lös ekvationen \(4\sin \frac{\alpha}{6}=2\).
  5. Lös ekvationen \(\sin 2\alpha = -\sin\alpha\).
  6. Lös ekvationen \(\sin x = \sin 3x\).
  7. Från uppgiften ovan, bestäm de lösningar som är i intervallet \(-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\).
  8. För vilka vinklar gäller att \((\sin x)(\sin x +1)=0\).
  9. Lös \(2\sin^2 \alpha -\sin \alpha =1\).
  10. Lös ekvationen \(2\sin^2 x -\sin x =0\).
  11. *Lös ekvationen \(\sin^2 x + \sin x =2\).