5. Ekvationer med cosinus

Ekvationen \(\cos \alpha = a\)

För ekvationen \(\cos \alpha =a\) utgår vi på samma sätt som för ekvationen \(\sin \alpha = a\). Vi börjar med en enhetscirkel och kommer ihåg att cosinus ger periferipunktens x-koordinat.

Vi får att

På bilden gäller att \(\beta = -\alpha\). Vi får att ekvationen \(\cos \alpha =a\) har två lösningar, vinklarna \(\alpha\) och \(-\alpha\). När vi går hela varv kommer vi tillbaka till samma periferipunkter.

Lösningarna för ekvationen \(\cos \alpha =a\) där \(\alpha_0\) är en lösning kan vi skriva som

\(\alpha = \pm\alpha_0 + n\cdot 360^{\circ}\) där n är ett heltal, eller som
\(\alpha = \pm\alpha_0 + n\cdot 2\pi\) där n är ett heltal.

Exempel 1 Lös ekvationen \(2\cos \alpha +1=0\)

Lösning

Vi får

\(\begin{array}{rcl} 2 \cos \alpha +1 &=& 0 \\ 2 \cos \alpha &=& =-1 \\ \cos \alpha &=& = -\frac{1}{2} \\ \end{array}\)

En vinkel som uppfyller villkoret är \(\alpha = 120^{\circ} = \frac{2\pi}{3}\).

(Vissa exakta värden för vinklar för sinus och cosinus hittar du i MAOL:s tabeller.)

Vi får alltså \(\alpha = \pm \frac{2\pi}{3} +n\cdot 2\pi\), där \(n \in \mathbb{Z}\).

Exempel 2 Bestäm de vinklar som uppfyller ekvationen \(\cos \alpha = \cos 3\alpha\).

Lösning

Vi får \(\alpha =\pm 3\alpha +n\cdot 2\pi\) som vi måste dela upp i två olika fall.

Fall 1

\(\begin{array}{rcll} \alpha &=& 3\alpha +n\cdot 2\pi \\ -2 \alpha &=& n\cdot 2\pi &| /(-2)\\ \alpha &=& -n\cdot \pi & \end{array}\)

som är samma som \(\alpha = n\cdot \pi\) eftersomn är ett heltal.

Fall 2

\(\begin{array}{rcll} \alpha &=& -3\alpha +n\cdot 2\pi \\ 4 \alpha &=& n\cdot 2\pi &| /4\\ \alpha &=& n\cdot \frac{\pi}{2} & \end{array}\)

Lösningarna kan vi skriva som \(\alpha = n\cdot \frac{\pi}{2}\), där n är ett heltal.

För ekvationer med cosinus gäller följande

Ekvationen \(\cos \alpha = a\)

\(\alpha = \pm\alpha_0 + n\cdot 360^{\circ}\) där n är ett heltal

eller som
\(\alpha = \pm\alpha_0 + n\cdot 2\pi\) där n är ett heltal.

Uppgifter

  1. Bestäm de exakta värdena av cosinus för följande vinklar
    -1 \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(-\frac{1}{2}\) 0 \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) 1
    \(\cos 0\)
    \(\cos \frac{\pi}{6}\)
    \(\cos \frac{\pi}{4}\)
    \(\cos \frac{\pi}{3}\)
    \(\cos \frac{\pi}{2}\)
    \(\cos \frac{2\pi}{3}\)
    \(\cos \frac{3\pi}{4}\)
    \(\cos \frac{5\pi}{6}\)
    \(\cos \pi\)
  2. Bestäm \(\cos 2 \alpha = 0\).
  3. Bestäm \(\cos 4x = \frac{1}{2}\).
  4. Lös ekvationen \(2\cos \alpha -1 =0\).
  5. Bestäm de x som löser ekvationen \(\cos (3x +\frac{\pi}{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}\).
  6. Bestäm \(\cos \frac{x}{3} =\cos \frac{x}{2}\).
  7. Bestäm \(\cos 2x =\cos \frac{x}{4}\).
  8. Lös \(\cos^2 x +\cos x =2\).
  9. *Bestäm \(\cos(\cos x )=1\).