8. De trigonometriska funktionerna

När vi behandlar sinus, cosinus och tangens som funktioner har vi vinkeln som funktion av värdemängden.

Genom att ändra på vinkeln, den gröna glidaren, skapar du enhetsciklen (svart) och funktionerna för sinus (grön), cosinus (röd) och tangens (blå). Märk hur funktionerna upprepar sig själv för varje varv på enhetscirkeln.

De trigonometriska funktionerna har följande egenskaper:

Period Definitionsmängd Värdemängd
Sinus, \(f(x)=\sin x\) \(2\pi\) De reella talen, \(\mathbb{R}\) [-1,1]
Cosinus, \(f(x)=\cos x\) \(2\pi\) De reella talen, \(\mathbb{R}\) [-1,1]
Tangens, \(f(x)=\tan x\) \(\pi\) De reella talen förutom \(\frac{\pi}{2}+n\pi\) De reella talen, \(\mathbb{R}\)

Genom att ändra på vinkeln, tex \(f(x)=\sin 2x\), eller genom att addera till får vi en lite annan funktion. Det får du göra i första uppgiften.

Uppgifter

  1. Ändra på värdena, A och B, för funktionen \(f(x)=A\sin Bx\) i Geogebra Appen. Hur ändrar A och B på funktionens utseende och egenskaper?
    Påstående Värdemängden Perioden
    A ändrar på
    B ändrar på
  2. Ändra på värdena, C och D, för funktionen \(f(x)=C+\sin (D+x)\) i Geogebra Appen. Hur ändrar C och D på funktionens utseende och egenskaper?
    Påstående Ändrar på värdemängden Flyttar på funktionen i sidoled
    C
    D
  3. Ändra på värdena, A och B, för funktionen \(f(x)=A\tan Bx\) i Geogebra Appen. Hur ändrar A och B på funktionens utseende och egenskaper?

    Påstående Flyttar den i sidled. Ändrar på hur snabbt funktionen växer. Ändrar på perioden.
    A
    B
  4. Ändra på värdena, C och D, för funktionen \(f(x)=C+\tan (D+x)\) i Geogebra Appen. Hur ändrar C och D på funktionens utseende och egenskaper?

    Påstående Flyttar den uppåt och nedåt. Flyttar den höger och väster.
    C
    D
  5. Det finns ett samband mellan sinus och cosinus. Ändra på värdena A, B, C och D för \(f(x)=A+B\cos(C+Dx)\) så att funktionen f är identisk med funktionen \(g(x)=\sin x\).Vilket är sambandet mellan sinus och cosinus?
  6. Para ihop rätt funktion med rätt graf. Försök göra det utan att rita upp dem.
    Välj bland uttrycken: \(y=\sin x, y=\cos x, y=\tan x, y=1 +\cos x, y=2\sin x, y=\cos 2x\)
    Grafen av funktionerna är följande:

    a)   b)  
    c)   d)  
    e)   f)  
  7. Välj för funktionerna rätt värdemängd och period. Det blir två kryss per rad.
    Påstående Värdemängden [-1,1] Värdemängden [0,2] Värdemängden [-2,2] Perioden \(\pi\)

    Perioden \(2\pi\)
    \(2\sin x\)
    \(\sin x\)
    \(2\sin 2x\)
    \(1+\cos 2x\)
    \(\sin 2x\)
    \(2\cos x\)
    \(\cos x\)
    \(2\cos 2x\)
    \(1+\sin x\)
    \(1+\sin 2x\)
    \(\cos 2x\)
    \(1+\cos x\)