9. Sammansatt funktion

Då vi arbetar med trigonometriska funktioner får vi lätt funktioner som \(f(x)=\sin (2x)\), eller \(g(x)=\cos ^2 x\). Bägge funktionerna består av två funktioner: f av \(\sin x\) och \(2x\). Då vi skriver \(g\) som \((\cos x)^2\) ser vi bättre att \(g\) består av \(x^2\) och \(\cos x\).

För att kunna undersöka denna typ av funktioner måste vi behandla och lära oss om sammansatta funktioner.

Vi arbetar med funktionerna \(f(x)=x^2\) och med \(g(x)=2x-1\). Vi kan kombinera dessa funktioner på två olika sätt, som \(f(g(x))\) och som \(g(f(x))\). I \(f(g(x))\) sätter vi först in värdet i funktionen \(g\) och sedan in resultatet i \(f\)

För \(g(f(x))\) så börjar vi med att först sätta värdet i \(f\) och sedan sätter vi resultatet i \(g\).

Vi betecknar det som \(f(g(x))= (2x-1)^2\) och \(g(f(x))=2x^2-1\). Då vi bildar \(f(g(1)) = (2\cdot1-1)^2 = 1\) och \(g(f(x))=2\cdot 1^2-1 = 3\) så märker vi att det spelar en roll hur vi bildar våra sammansatta funktioner.

För beteckningen \(f(g(x))\) eller \(f(g)\) är \(f\) yttre funktion och \(g\) är inre funktion. Vi sätter först värdet in i den inre funktionen och sedan in i den yttre funktionen.

För beteckningen \(f(g(x)) = f(g)\) brukar man skriva \(f \circ g\), som utläses ”f boll g”.

Exempel 1 Låt \(f(x)=\sqrt{x-1}\), \(x>1\) och \(g(x)=x^2+1\), \(x>0\). Bilda \(f \circ g\) och \(g \circ f\).

Uppgifter

  1. Identifiera funktionerna. Vilken funktion är den inre- och vilken är den yttre funktionen?
    1. \((3x-1)^3\)
    2. \(\sqrt{4x-1}\)
    3. \(\lg 2x\)
  2. Identifiera funktionerna. Vilken funktion är den inre- och vilken är den yttre funktionen?
    1. \(\cos 4x\)
    2. \(\tan^2 2x\)
    3. \(\sin (\cos x)\)
  3. Låt \(f(x)=\sqrt{x}\) och \(g(x)=x-1\). Välj de rätta alternativen.
    Påstående \(f(g)\) \(g(f)\) \(f \circ g\) \(g \circ f\)
    \(\sqrt{x-1}\)
    \(\sqrt{x}-1\)
  4. Låt \(f(x)=3x^2\) och \(g(x)=\sin x\). Bilda
    1. \(f \circ g\)
    2. \(g \circ f\)
  5. Låt \(f(x)=\sqrt{x}\) och \(g(x)=(x+1)^2\). Bilda
    1. \(f \circ g\)
    2. \(g \circ f\)
  6. Låt \(f(x)=x^2\). Bestäm \(g(x)\) så att
    1. \(f \circ g = (2x-1)^2\)
    2. \(g \circ f = x\)