1. Potenser

Vi börjar resan mot kvadratrötter, logaritmer och exponentialfunktioner genom att repetera potenser.

Vi bestämmer tillsammans

  1. \((-4)^2\)
  2. \(-4^2\).

Exempel 1 Förenkla

  1. \((3a)^3 \)
  2. \(\left(\frac{2}{a}\right)^2 \)
  3. \(a^2 \cdot a^4 \)
  4. \(\frac{y}{y^3} \)
  5. \(\left(a^2\right)^3 \).

Lösning

  1. \((3a)^3 =(3a)(3a)(3a)=3^3a^3 = 27a^3\)
  2. \((\frac{2}{a})^2 =\frac{2}{a}\cdot \frac{2}{a}=\frac{4}{a^2}\)
  3. \(a^2 \cdot a^4 = a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a =a^6\)
  4. \(\frac{y}{y^3} =\frac{1}{y^2}\)
  5. \((a^2)^3 = (a^2)(a^2)(a^2)=a^6\)

När vi förenklar potenser brukar vi inte skriva ut alla mellansteg, utan vi använder oss av följande formler:

\(\begin{array}{ll} & \textrm{exempel} \\ (ab)^n = a^n b^n & 3^2\cdot 4^2 = (3\cdot 4)^2 = 12^2 \\ (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} & (\frac{1}{2})^2=\frac{1^2}{2^2}=\frac{1}{4}\\ a^m a^n = a^{m+n} & 3^2\cdot 3^4 = 3^6 \\ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, a\not=0 & \frac{4^5}{4^2}=4^{5-2}=4^3 \\ (a^m)^n=a^{mn} =(a^n)^m & (2^3)^2=2^{3\cdot 2} = 2^6 \\ \end{array}\)

Exempel 2 Förenkla

  1. \((-3a)^4 \)
  2. \(2^2 \cdot 4^3\).

Lösning

  1. \((-3a)^4 =(-3)^4\cdot a^4=81a^4\)
  2. \(2^2 \cdot 4^3= 2^2\cdot (2^2)^3 = 2^2 \cdot 2^6 = 2^8\)

Uppgifter

  1. Bestäm
    1. \(-1^{2014}\)
    2. \(-2014^1\)
    3. \((-1)^{2014}\)
  2. Bestäm värdet av uttrycket
    1. \((-3-7)^2 \)
    2. \((-3)^2-7^2 \)
    3. \(-3^2-7^2 \)
    4. \((-3)^2 \cdot (-7)^2\)
    5. \((-3)^2-(-7)^2\)
  3. Skriv som potenser och förenkla
    1. \(a \cdot aaa\)
    2. \(\frac{xxxxx}{xx}\)
    3. \(\frac{bb}{bbbbbb}\)
    4. \(nnnnnn \cdot \frac{1}{nnn}\)
  4. Bestäm
    1. \(\left(-1 \frac{2}{3}\right)^3\)
    2. \(3\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4\)
    3. \(3 \cdot \frac{2}{3^4}\)
  5. Bestäm värdet av

    1. \(2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2\)
    2. \(8^{10} \cdot 32^7\)
    3. \(\frac{100^{14}}{10^{27}}\)
  6. *Förenkla
    1. \(a^n \cdot a^n\)
    2. \(\frac{a^{2n+1}}{a^n a^n}\)
    3. \(\frac{a^n a^n}{a^n + a^n}\)