10. Tillämpning av logaritmer

För vilka värden på \(x\) gäller att \(4^x = 7\)?

Lösning

Vi löser ekvationen genom att att vi utnyttjar logaritmen med basen 10.

\(\begin{array}{rcl} \lg 4^x &=& \lg 7 \\ x \lg 4 &= &\lg 7 \\ x &=&\frac{\lg 7}{\lg 4} \approx 1,40 \\ \end{array}\)

När vi löser exponentialekvationer av typen \(k^x=a\) utnyttjar vi oss av logaritmer med basen 10. Lösningarna till ekvationen \(k^x=a\) är \(x=\frac{\lg a}{\lg k}\).

Om vi inte vill arbeta med logaritmer som har basen 10 så får vi att \(\log_a x = \frac{\lg x}{\lg a}\).

Exempel 1 Exempel med musikstyrka och intensitet.

Exempel 2 med Richterskala och energi i jordbävning.

Exempel 3 På ett bankkonto sätter man in 1500 €. Banken ger en räntesats om 1,0 % per år. Efter hur många år är har summan stigit till över 2000 € då vi varje år betalar en kapitalinkomst skatt på 30 % av räntan?

Lösning

Eftersom vi varje år betalar 30 % skatt av räntan som bildas av 1,0 % så har vi en verklig ränta om \(0,70 \cdot 0,01 a = 0,007a\). Den verkliga räntan är 0,7 %.

Vi får en ekvation

\(\begin{array}{rcl} 1,007^x \cdot 1500 &>& 2000 \\ 1,007^x &>&\frac{2000}{1500}\\ \lg 1,007^x &>& \lg \frac{4}{3} \\ x \lg 1,007 &>& \lg \frac{4}{3} \\ x &>& \frac{\lg \frac{4}{3}}{\lg 1,007} \approx 41,24 \text{ år} \\ \end{array}\)

Efter 42 år.

Uppgifter

  1. För vilka värden på \(x\) gäller följande. Svar med två decimalers noggrannhet.
    1. \(2^x=5\)
    2. \(7^x=14\)
    3. \(3^x=21\)
  2. Ordna uträkningarna i rätt ordning så att lösningen är korrekt och logisk.
    1. Välj bland följande uttryck: \(3^x=12\), \(x=\frac{\lg 12}{\lg 3}\), \(\lg 3^x=\lg 12\) och \(x\lg 3=\lg 12\).

      (1.)
      (2.)
      (3.)
      (4.)
    2. Välj bland följande uttryck: \(x\lg 2=\lg 6\), \(\lg 2^x=\lg 6\), \(2^x=6\) och \(x=\frac{\lg 6}{\lg 2}\).

      (1.)
      (2.)
      (3.)
      (4.)
    3. Välj bland följande uttryck: \(5^x=4\), \(\lg 5^x=\lg 4\), \(x=\frac{\lg 4}{\lg 5}\) och \(x\lg 5=\lg 4\).

      (1.)
      (2.)
      (3.)
      (4.)
  3. Korrigera följande uträkning. Var gick det fel och varför?

    \(\begin{array}{rcll} 4^x &=&12 & \quad \text{(1.)}\\ \lg 4^x &=&\lg 12 & \quad \text{(2.)}\\ x &=&\frac{\lg 12}{\lg 4} & \quad \text{(3.)}\\ x &=&\lg 3 & \quad \text{(4.)}\\ \end{array}\)
  4. Vi placerar 1500 € så att den årliga av kastningen är 7,0 %. Efter hur många år har kapitalet ökat till 2500 € då vi varje år betalar en skatt på kapitalinkomster om 30 %?
  5. Befolkningsökningen var som störst i Finland efter andra världskriget. 1950 var befolkningsmängden 4,03 miljoner och befolkningstillväxten var 1,0 %. Om befolkningstillväxten skulle ha varit konstant 1,0 % efter 1950, vilket år skulle befolkningsmängden överskrida dagens (år 2015) mängd på 5,47 miljoner?
  6. Ett företag strävar till att öka omsättningen med 60 % under 10 år.

    1. Hur många procent skall omsättningen öka varje år?

    2. Om hur många år har omsättningen fördubblats?
  7. Varje år fördubblas antalet råttor i en storstad. Hur lång tid tar det för antalet råttor att bli 100 gånger så stort?
  8. *I Finland har 94,6 % av befolkningen finska eller svenska som modersmål. En hur stor grupp måste man i alla fall samla om man vill att med sannolikheten 0,99 att i alla fall en person inte har finska eller svenska som modersmål?
  9. *Radioaktiva material har en naturligt sönderfall som kallas för halveringstid. Halveringstiden betyder att antalet aktiva, radioaktiva kärnor minskar med hälften. Halveringstiden för kol 11 som används i PET skanning har en halveringstid på 20,5 minuter. Efter hur många minuter har aktiviteten sjunkit till en 100-del av vad den var i början?