11. Talet e och den naturliga logaritmen

Vi studerar derivatan för funktionerna \(2^x\) och \(3^x\).

I MaA 7 kursen arbetade vi med definitionen för derivatan, \(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\). Vi använder oss av differentialkvoten för att bestämma derivatan för \(2^x\) och \(3^x\). Eftersom vi inte, ännu, kan räkna gränsvärden med exponentialfunktioner låter vi \(h=0,001\).

Vi får följande värden:

\(x\) \(f(x)=2^x\) \(f'(x)\)
0 1 0,693
1 2 1,387
2 4 2,773
3 8 5,547

och

\(x\) \(g(x)=3^x\) \(f'(x)\)
0 1 1,099
1 3 3,298
2 9 9,893
3 27 29,679

Med lite trixande med siffror märker vi att då \(f(x)=a^x\) så är \(f'(x)=f'(0)f(x)\).

Då \(x=0\) märker vi att derivatans värde för \(2^x = 0,693 < 1\) och \(3^x=1,099>1\).

Vi söker den bas som vars tangent får värdet \(1\) i \(x=0\).

Bas \(f'(0)\)
1 0,963
2 1,099
2,5 0,917
2,71 0,998
2,71 1,001

Det tal som vi söker är \(2,718281828459045 \ldots\). Detta tal kalas för Napiers konstant eller Eulers tal, efter John Napier och Leonhard Euler. Vi klarar oss bra med att veta att värdet är ca 2,72.

Exponentialfunktionen \(e^x\)

\(De^x=e^x\). Vidare gäller att funktionen är strängt växande och att \(f: \mathbb{R} \to ]0,\infty[\).

Exempel 1 Bestäm \(D3e^x\).

Lösning

\(D3e^x = 3De^x=3e^x\).

Exempel 2 Lös ekvationen \(4e^x-1=0\).

Lösning

\(\begin{array}{rcll} 4e^x-1 & = & 0 \\ 4e^x &=&1 \\ e^x &=& \frac{1}{4} &\text{Vi manipulear med }\log_e \text{ som vi betecknar} \ln\\ \ln e^x &=& \ln \frac{1}{4} \\ x &=& \ln 1 -\ln 4 \\ &=& 0-\ln4\\ &=& -\ln 4 \end{array}\)

Logaritmen med basen \(e\) betecknar vi som \(\ln\).

Exempel 3 Bestäm största och minsta värde för funktionen \(f(x)=e^x-2x\) i intervallet \([-1,2]\).

Lösning

Vi börjar med att derivera, \(f'(x)=e^x-2\).

Sedan söker vi derivatans nollställen, \(f'(x)=0\).

\(\begin{array}{rcl} e^x-2&=&0 \\ e^x &=&2 \\ \ln e^x &=& \ln 2\\ x &=& \ln 2\\ \end{array}\)

Eftersom vi har en funktion som är definierad i ett intervall finner vi största och minsta värde i derivatans nollställen eller i intervallets ändpunkter.

\(f(-1)=e^{-1}-2(-1) = \frac{1}{e} +2 \approx 2,37\) \(f(\ln 2)=e^{\ln 2}-2(\ln 2) \approx 0,61\) \(f(2)=e^{2}-2(2) = e^2-4 \approx 3,39\)

Minsta värdet är \(e^{\ln 2}-2\ln2\) och största värdet är \(e^2-4\).

Uppgifter

  1. Derivera funktionen \(5e^x\).
  2. Derivera funktionen \(7x-2e^x\).
  3. För vilket värdet på \(x\) gäller att \(e^x -5=0\)?
  4. Lös ekvationen \(\frac{1}{2}e^x -2=0\).
  5. Bestäm de punkter där funktionen \(f(x)=e^x -x\) byter riktning.
  6. Bestäm minsta värde för funktionen \(f(x)=3e^x -2x\).
  7. Bestäm största och minsta värde för funktionen \(f(x)=\frac{1}{3}e^x -x\) då \(x\in [0,2]\).