12. Derivatan av e^x

Exempel 1 Bestäm \(De^{2x}\).

Lösning

Vi har en sammansatt funktion. \(e^x\) är yttre och \(2x\) är intre.

Vi får \(D e^{2x} = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}\).

Exempel 2 Bestäm \(De^{3x^2-1}\) .

Lösning

Vår yttre funktion är \(e^x\) och vår inre funktion är \(3x^2-1\). Eftersom \(f(g)=f'(g)g’\) får vi att \(De^{3x^2-1} = e^{3x^2-1}(6x) = 6xe^{3x^2-1}\).

För exponentialfunktionen \(e^x\) kan vi härleda följande formel, \(De^{f(x)}=e^{f(x)}\cdot f'(x)\).

Vi har kedjeregeln \(f(g)=f'(g)g’\), där den yttre funktionen är \(e^x\). \(De^x=e^x\) så vi får att \(De^{f(x)} = e^{f(x)}f'(x)\).

Exempel 3 Derivera funktionen \(\frac{1}{e^{2x}}\).

Lösning

Vi skriver \(\frac{1}{e^{2x}}\) som \(e^{-2x}\). Derivatan är \(e^{-2x}(-2) = -2e^{-2x} =\frac{-2}{e^{2x}}\).

Uppgifter

  1. Derivera funktionen \(e^{5x}\).
  2. Derivera funktionen \(\frac{1}{2}e^{x^2}\).
  3. Derivera \(f(x)=\frac{e^x-2}{e^x}\).
  4. Derivera funktionen \(e^{x^3-x}\).
  5. Derivera \(f(x)=(1-\frac{1}{e^x})^2\).
  6. * Bestäm \(De^{\frac{1}{2}(3x-1)^4}\).
  7. Bestäm de punkter där \(f(x)=e^{4x^2-1}\) byter riktning.
  8. Bestäm de punkter där \(f(x)=e^{\sin(x)}\) byter riktning.
  9. Bestäm tangenten för \(f(x)= e^{x^3}-1\) i punkten \(x = -1 \).
  10. Visa att \(f(x)= e^{\frac{1}{x}}\) är strängt avtagande.