13. Derivatan av exponentialfunktionen

Derivera \(5^x\).

Lösning

Vi börjar med att uttrycka \(5^x\) med hjälp av basen \(e\), \(5=e^{\ln 5}\).

Då är \(5^x= (e^{\ln 5 })^x = e^{x\ln 5}\).

Vi får att

\(\begin{array}{rcll} D5^x &=& De^{x\ln 5} &\mid De^{f(x)}=e^x{f(x)}\cdot f'(x) \\ &=& e^{x\ln 5} Dx\ln 5 \\ &=& e^{x\ln 5} \ln5 & \mid 5^x=e^{x\ln5}\\ &=& 5^x \ln 5 \\ \end{array}\)

Då vi gör det allmänt får vi att derivatan av \(k^x=k^x \ln k\)

Motivering:

För \(k^x\) uttrycker vi \(k\) som \(e^{\ln k}\) och då är \(k^x=(e^{\ln k})^x = e^{x\ln k}\).

\(Dk^x=De^{x\ln k} = e^{x\ln k}D(x\ln k) = e^{x\ln k} \ln k = k^x \ln k\).

Alltså \(Dk^x=k^x \ln k\).

Exempel 1 För radioaktiva isotoper gäller att under samma tid sönderfaller det en lika stor procentuell andel till andra isotoper. Kalium, \(^{11}C\), är en av isotoperna som används vid PET-scanning. Under 20 minuter minskar radioaktiviteten med 50 %. Vi antar att en patient har fått en dos på 3,6 mg.

  1. Bilda en funktion som beskriver mängden radioaktiva isotoper som finns kvar i kroppen.
  2. Bestäm hastigheten som isotopen sönderfaller vid 30 minuter efter att den injucerats.

Lösning

För att bilda en funktion börjar vi med att göra en tabell.

Tid Mängd kvar
0 \(3,6\)
20 \(3,6 \cdot 0,5\)
40 \(3,6 \cdot 0,5^2\)
60 \(3,6 \cdot 0,5^3\)
\(t\) \(3,6 \cdot 0,5^{\frac{t}{20}}\)

Inom naturvetenskaper brukar man uttrycka exponentiella förlopp med funktioner som har basen \(e\), \(0,5=e^{\ln 0,5}\). Vår funktion är \(3,6 \cdot (e^{\ln 0,5})^{\frac{t}{20}} = 3,6e^{\frac{t}{20}\ln 0,5}\). Eftersom vi har en tillämpad uppgift kan vi skriva det som \(3,6e^{-0,0347t}\).

Funktionen är \(m(t)=3,6e^{\frac{t}{20}\ln 0,5}\) där \(t\) är tiden i minuter efter att isotoperna injicerats.

För att bestämma hastigheten för sönderfallet deriverar vi funktionen, \(m'(t)=3,6e^{\frac{t}{20}\ln 0,5} \cdot \frac{1}{20}\ln 0,5\).

Hastigheten för sönderfallet vid 30 min är \(m'(30)=3,6e^{\frac{30}{20}\ln 0,5} \cdot \frac{1}{20}\ln 0,5 = -0,044\) (mg/min).

Isotoperna sönderfaller efter 30 min med hastigheten 0,044 mg/min.

Exempel 2 Visa att \(e^{3x} > x\).

Lösning

Vi visar att \(e^{3x} > x\) genom att undersöka funktionen \(f(x)=e^{3x}-x\) och visa att för funktionen gäller att \(e^{3x} -x > 0\).

Vi visar att vi har en funktion som alltid är positiv genom att derivera den och visa att den alltid är positiv.

Derivatafunktionen är \(f'(x)=e^{3x}\cdot 3 -1 = 3e^{3x}-1\).

Derivatans nollställen finner vi genom att lösa ekvationen \(3e^{3x}-1 = 0\).

\(\begin{array}{rcl} 3e^{3x} -1 &=& 0 \\ 3e^{3x} &=& 1 \\ e^{3x} &=& \frac{1}{3} \\ 3x &=& \ln \frac{1}{3} = \ln 1 -\ln 3 = -\ln 3 \\ x &=& \frac{1}{3} (-\ln 3) = -\ln \sqrt[3]{3} \approx -0,37 \\ \end{array}\)

Vi bildar ett teckenschema:

\(f'(-1)= 3e^{3(-1)}-1 = \frac{3}{e^3} -1 < 0\).

\(f'(0)= 3e^{3\cdot 0}-1 = 3e^0 -1 = 3-1 = 2 > 0\).

\(\begin{array}{r|ccc} & & -\ln \sqrt[3]{3} & \\ \hline f'(x) & – & 0 & + \\ f(x) & \searrow & 0 & \nearrow \\ \end{array}\)

Funktionen får sitt minsta värde i punkten \(-\ln \sqrt[3]{3}\). Funktionens minsta värde är \(f(-\ln \sqrt[3]{3}) = e^{3(-\ln \sqrt[3]{3})}-(-\ln \sqrt[3]{3}) \approx 0,70\).

Eftersom funktionens minsta värde är positivt är resten av värdena positiva. Vi har visat att \(e^{3x} > x\).

Uppgifter

  1. Derivera
    1. \(2^x\).
    2. \(4^x\).
    3. \((\frac{1}{2})^x\).
  2. Halveringstiden för den radioaktiva isotopen polonium 210 är ca 140 dagar (exakt är det 138,4 dagar). Polonium 210 är ett relativt allmänt ämne att mörda personer med. Tex Alexander Litvinenko och Yasser Arafat har högst antagligen blivit förgiftade och mördade med polonium.

    En dödlig dos för en vuxen person vars massa är 75 kg är ungefär 650 ng (nanogram) polonium.

    1. Bilda en funktion som beskriver mängd polonium kvar i kroppen som funktion av tiden i dagar för en vuxen person på 75 kg.
    2. Efter en dödlig dos med polonium tar det ca 44 dagar före man dör. Hur många ng polonium finns det kvar i kroppen?
    3. Hur länge tar det förrän mängden aktiv polonium har sjunkit till 30 % av vad den var i början?
    4. Hur snabb är sönderfallet 30 dagar efter injicering?
  3. Bestäm tangeten för funktionen \(f(x)=3^x\) då \(x=1\).
  4. Bestäm tangenten för funktionen \(f(x)=4^x\) som har riktningskoefficienten \(\ln 4\).
  5. För funktionen \(e^{-x}\) ritas tangenten i den punkt där funktionen skär \(y\)-axeln. Bestäm ekvationen för tangenten.
  6. Bestäm minsta värde för funktionen \(f(x)=e^{2x}-x\).
  7. Bestäm värdemängden för funktionen \(f(x)=xe^x\).

  8. *Visa att \(e^{5x} > 15e^x-20\) för alla värden på \(x\).