14. Derivatan av logaritmfunktionen

Vi tar och härleder en deriveringsformel för logaritmfunktionen med basen \(e\), \(\ln x\), då \(x\in ]0, \infty[\).

Härledning

Då \(x>0\) gäller att \(e^{\ln x} =x\). Funktionerna \(e^{\ln x}\) och \(x\) har samma derivatafunktioner, eftersom det är fråga om samma funktion. Vi deriverar bägge.

\(\begin{array}{rcll} e^{\ln x} &=& x &\text{Derivatan av bägge led.}\\ De^{\ln x} &=& Dx &De^{f(x)}=e^{f(x)}\cdot f'(x)\\ e^{\ln x}D\ln x &=& 1 & e^{\ln x}= x\\ x D\ln x &=&1 \\ D \ln x &=&\frac{1}{x}\\ \end{array}\)

Derivatan av funktionen \(\ln x\) är \(\frac{1}{x}\) där \(x>0\).

Derivatan av funktionen \(\ln x\) är \(\frac{1}{x}\) där \(x>0\).

Exempel 1 Derivera \(4\ln x\). Har derivatafunktionen nollställen?

Lösning

Funktionen är definierad då \(x>0\).

Derivatan är \(D4\ln x = 4\cdot\frac{1}{x} =\frac{4}{x}\).

Vi söker nollställen för derivatafunktionen, \(f'(x)=\frac{4}{x}\). \(\frac{4}{x}\) kan aldrig få värdet noll eftersom täljaren alltid har värdet 4. Derivatan saknar nollställen som betyder att funktionen aldrig byter riktning.

Egenskaper för funktionen \(\ln x\)

  • Funktionen \(\ln x\) är strängt växande i sin definitionsmängd \(]0,\infty[\).
  • Funktionens värdemängd är alla reella tal.

Exempel 2 Bestäm tangenten för funktionen \(f(x)=\ln x\) i punkten \(x=2\).

Lösning

Tangenten går genom punkten \(x=2\) och \(y=\ln 2\). Riktningskoefficienten får vi genom derivatans värde i punkten 2.

\(f'(x)= \frac{1}{x}\) och \(f'(2)=\frac{1}{2}\).

En linjes ekvation ser ut som \(y-y_0=k(x-x_0)\), vi får \(y-\ln2 =\frac{1}{2}(x-2) \Leftrightarrow y=\frac{x}{2}-1+\ln2\).

Vi tar och härleder en deriveringsformel för funktioner som är av typen \(\ln f(x)\) där \(f(x)>0\).

Vi har en sammansatt funktion där den yttre funktionen är \(\ln x\) och den inre är \(f(x)\). För sammansatta funktioner gäller \(Df(g) = f'(g)g’\).

Vi får att \(D\ln(f(x))=\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}\).

Alltså då \(f(x)>0\) och deriverbar gäller att \(D\ln f(x)=\frac{1}{f(x)} \cdot f'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}\).

Exempel 3 Bestäm definitionsmängd och derivera funktionen \(\ln(e^x-2)\).

Lösning

Funktionen är definierad då \(e^x-2 > 0 \Leftrightarrow e^x > 2\) som betyder att \(x> \ln 2\).

\(D\ln(e^x-2) = \frac{e^x}{e^x-2}\).

Uppgifter

  1. Derivera
    1. \(3\ln x\) då \(x>0\).
    2. \(3\ln x-1\) då \(x>0\).
    3. \(3\ln (x-1)\) då \(x>1\).
    4. \(\ln(1-x^2)\) då \(-1<x<1\).
  2. Bestäm defininitionsmängden för \(\ln(e^x-1)\).
  3. Bestäm defininitionsmängden för \(\ln(2x^2-1)\).
  4. Bestäm minsta värde för \(\ln(e^x-x)\) då \(x\in\mathbf{R}\).
  5. Bestäm minsta värde för \(\ln(e^2+x)\).
  6. Bestäm tangenten för funktionen \(f(x)=\ln x^2\) i punkten \(x=1\).
  7. *Bilda deriveringsformeln för funktionerna av typ \(\log_a x\) då \(a>0\) och \(a\not=1\).