4. Potensekvationer

Exempel 1 Lös ekvationen

  1. \(x^2=1\)
  2. \(x^2=5\)
  3. \(x^5 = -1\)
  4. \(2x^4 = 1\)

Exempel 2 Lös följande ekvationer:

  1. \(3^2 = 81^x\)
  2. \(16 \cdot 64^x = 256^{x-1}\).

Lösning

  1. \(3^2 = 81^x\)

    Vi skriver 81 som \(3^4\). Vi får

    \(\begin{array}{rcl} 3^2 & = & 81^x \\ 3^2 & = & (3^4)^x \\ 3^2 & = & 3^{4x} \\ \end{array}\)

    Eftersom vi har samma bas måste exponenterna vara samma för att ekvationen skall gälla. \(2=4x\) ger att \(x=\frac{1}{2}\).

  2. \(16 \cdot 64^x = 256^{x-1}\)

    Vi kan skriva \(16=2^4\), \(64=2^6\) och \(256=2^8\). Vi får

    \(\begin{array}{rcll} 16 \cdot 64^x &=& 256^{x-1} \\ 2^4 \cdot (2^6)^x & = & (2^8)^{x-1} \\ 2^4 \cdot 2^{64x} & = & 2^{8(x-1)}\\ 2^{4+6x} &=&2^{8(x-1)} &\textrm{ Samma bas! Undersöker exponenterna.} \\ 4+6x & = & 8(x-1) \\ 4+6x & = & 8x-8 \\ -2x & = & -12 \\ x & =& 6 \\ \end{array}\)

Uppgifter

  1. Lös följande ekvationer
    1. \(x^6 = 729\)
    2. \(x^3 = -125\)
    3. \(x^7 = -128\)
  2. Lös ekvationerna och ge exakt svar
    1. \(3x^6 = 2 \)
    2. \(\frac{1}{4}x^3 = 1 \)
    3. \(\frac{2x^7}{5} = -\frac{5}{2}\)
  3. Lös ekvationen

    1. \(25^x -625= 0\)
    2. \((2^3)^x \cdot (4^3)^x = 64^{x-1}\)
    3. \(27^{x-1} \cdot 9^x = 2187\)