5. Rotfunktionen och ekvationer med rotfunktionen

I grundskolan har du tidigare bekantat dig med kvadratrötter. Nu är det dags att bilda funktioner av dem och börja analysera hur de beter sig.

Vi tar och ritar funktionen \(f(x)=\sqrt{x}\).

Exempel 1 För vilka värden på \(x\) gäller att \(\sqrt{x-2}=4\)?

Lösning

Radikanden, det som är under rotteckent, är definierad då \(x-2\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 2\).

Vi tar och löser

\(\begin{array}{rcll} \sqrt{x-2}&=&4 & \textrm{ genom att kvadrera.} \\ (\sqrt{x-2})^2 &=&4^2 \\ x-2 &=& 16 \\ x &=&18 \\ \end{array}\)

Eftersom \(18>2\) duger lösningen.

Exempel 2 Bestäm skärningspunkten för funktionerna \(f(x)=\sqrt{x+2}\) och \(g(x)=\sqrt{-x+6}\).

Lösning

Vi börjar med att undersöka när funktionerna är definierade.

\(f\) är definierad då \(x+2\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -2\) och \(g\) är definierad då \(-x+6\geq 0 \Leftrightarrow x\leq 6\).

Sedan löser vi ekvationen \(f(x)=g(x)\):

\(\begin{array}{rcll} \sqrt{x+2} & =&\sqrt{-x+6} &\textrm{ Vi kvadrerar} \\ (\sqrt{x+2})^2 & =&(\sqrt{-x+6})^2 \\ x+2 & = & -x+6 \\ 2x & = & 4 \\ x & = & 2 \\ \end{array}\)

\(x=2\) duger som lösning eftersom \(-2\leq 2\leq 6\).

Man kan även bestämma de gemensamma punkterna för \(f(x)=\sqrt{x+2}\) och \(g(x)=\sqrt{-x+6}\) genom att undersöka radikanderna. Då får vi att \(x+2=-x+6 \Leftrightarrow x=2\).

Fundera, gäller följande påståenden:

  • Om \(a^2=b^2\) så gäller att \(a=b\).
  • Om \(a^3=b^3\) så gäller att \(a=b\).

Motivering

Kvadraten gäller inte. Ta till exempel \(4\) och \(-4\). Bägge talen i kvadrat har värdet 16 men ändå är inte \(4 = -4\) .

För kubiken gäller det däremot.

Eftersom det inte gäller för kvadraten så måste vi vara på alerten att vi inte får falska rötter då vi löser ekvationer med kvadratrötter.

Exmepel 3 Bestäm de gemensamma punkterna för \(f(x)=\sqrt{x+3}\) och \(y=x+1\).

Lösning

\(f\) är definierad då \(x+3\geq 0 \Leftrightarrow x \geq -3\).

Vi är intresserade av \(\sqrt{x+3}=x+1\) som vi löser genom att kvadrera.

\(\begin{array}{rcll} (\sqrt{x+3})^2&=&(x+1)^2 \\ x+3 & = & x^2+2x+1 \\ x^2+x-2 & =&0 &\textrm{ Rotformeln ger:}\\ \\ x &=& \frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1(-2)}}{2\cdot 1}\\ \\ & = & \frac{-1\pm 3}{2}\\ \end{array}\)

Rötterna är \(x=\frac{-1-3}{2}=-2\) och \(x=\frac{-1+3}{2}=1\).

Då vi jämför med funktionernas grafer märker vi att de endast skär en gång. Det som vi måste göra är att testa rötterna som vi fått.

Vi testar rötterna: \(\sqrt{-2+3}=\sqrt{1}\not=-2+1\) och \(\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2=1+1\). Vi har alltså endast en gemensam punkt. Då \(x=1\) är \(y=1+1=2\).

Den gemensamma punkten är \((1,2)\).

Exempel 4 Bestäm nollställena för funktionen \(f(x)=\sqrt{2x-2}-x+1\).

Lösning

Funktionen är definierad då \(2x-2\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 1\).

Vi löser ekvationen

\(\begin{array}{rcll} \sqrt{2x-2}-x+1 &=&0 \\ \sqrt{2x-2}&=&x-1 &\mid (\quad)^2 \\ 2x-2 &=&(x-1)^2 \\ 2x-2 & = & x^2-2x+1 \\ x^2-4x+3 &=&0 &\textrm{ Rotformeln}\\ x &=&\frac{4\pm \sqrt{(-4)^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot 1} \\ &=& \frac{4\pm2}{2} \end{array}\)

Rötterna är \(x=\frac{4-2}{2}=1\) och \(x=\frac{4+2}{2}=3\).

Då vi löser ekvationer med rötter så måste vi börja med att bestämma definitionsmängden. Sedan måste vi vara vara på alerten och fundera över att kan det komma in falska rötter bland de lösningar som vi får.

Ett bra sätt är att testa rötterna eller att jämföra dem med definitionsmängden.

Uppgifter

  1. Rita funktionen \(\sqrt{x+1}\) på papper utan att använda räknare. Rita den på räknarprogram och jämför din funktion med räknarens.
  2. Bestäm definitionsmängden för följande rötter.

    Påstående \(x>-1\) \(x>0\) \(x>1\)
    \(\sqrt{x+1}\)
    \(\sqrt{2x+2}\)
    \(\sqrt{x-1}\)

    \(\sqrt{x}\)

    \(\sqrt{3x-3}\)

    \(\sqrt{3x}\)

  3. För vilka värden på \(x\) gäller att \(\sqrt{x-3}=5\)?
  4. Bestäm definitionsmängen för \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\).
  5. Bestäm skärningspunkten för funktionerna \(f(x)=\sqrt{2x+2}\) och \(g(x)=\sqrt{-x+5}\).
  6. För vilket värde på \(x\) är funktionsvärdena för \(f\) och \(g\) samma då \(f(x)=\sqrt{x+2}\) och \(g(x)=\sqrt{-2x}\)?
  7. Bestäm de gemensamma punkterna för \(f(x)=\sqrt{x+2}\) och \(y=2x-2\).
  8. Bestäm de gemensamma punkterna för \(f(x)=\sqrt{x+4}\) och \(y=\frac{1}{5}x+2\).
  9. Bestäm nollställena för funktionen \(f(x)=\sqrt{2x-3}-x+1\).
  10. *Bestäm nollställena för funktionen \(f(x)=\sqrt{2x-1}+x\).
  11. *För vilka värden på \(a\) skär linjen \(y=ax+1\) funktionen \(f(x)=\sqrt{x+3}\) i alla fall två gånger?
  12. *Räkna igenom uppgiften och korrigera felen i följande uträkning då uppgiften är:

    Bestäm skärningspunkterna för \(f(x)=\sqrt{x+1}\) och \(y=-x-1\).

    \(\begin{array}{rclll} \sqrt{x+1}&=&-x-1 &\mid (\quad)^2 &\text{(1.)}\\ (\sqrt{x+1})^2&=&(-x-1)^2 & &\text{(2.)}\\ x+1&=&x^2+2x+1& &\text{(3.)}\\ x^2+x &=&0 & &\text{(4.)}\\ x(x+1) &=&0 & &\text{(5.)}\\ \end{array}\)

    Alltså \(x =0\) och \(x+1=0 \Leftrightarrow x=-1\).

    Skärningspunkterna är \((-1,0)\) och \((0,1)\).