6. Derivatan av rotfunktionen

Derivering av rotfunktionen baserar sig på användningen av rationella exponenter och derivering av potensen av en funktion.

Rationella exponenter handlade om att vi kan uttrycka

  • \(\sqrt[n]{x}\) som \(x^{\frac{1}{n}}\),
  • \(\sqrt[n]{x^m}\) som \(x^{\frac{m}{n}}\) och
  • \((\sqrt[n]{x})^m\) som \(x^{\frac{m}{n}}\).

Vidare har vi från algebran att \(x^{-n} =\frac{1}{x^n}\).

När vi deriverade potensfunktioner fick vi att \(Df^n = n \cdot f^{n-1}\cdot f’\).

När vi dervierar rotfunktioner använder vi oss av allt detta.

Exempel 1 Derivera \(\sqrt{2x}\).

Lösning

Vi skriver \(\sqrt{2x}\) som \((2x)^{\frac{1}{2}}\).

\(D(2x)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot (2x)^{\frac{1}{2}-1}\cdot 2 = 1\cdot (2x)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}\).

Exempel 2 Derivera funktionen \(x\sqrt{x}\).

Lösning

Vi skriver \(x\sqrt{x}=x\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{1+\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}}\).

Vi får att \(Dx^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-1}\cdot 1 = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \sqrt{x}\).

Exempel 3 Derivera funktionen \(\frac{1}{2x\sqrt{x}}\).

Lösning

Vi skriver \(\frac{1}{2x\sqrt{x}}\) som \(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x\sqrt{x}} =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x\cdot x^{\frac{1}{2}}} =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\).

Vi får att \(D\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2}(-\frac{3}{2})x^{-\frac{3}{2}-1}\cdot 1 = -\frac{3}{4}x^{-\frac{5}{2}} = -\frac{3}{4x^\frac{5}{2}} = -\frac{3}{4\sqrt{x^5}} = -\frac{3}{4x^2\sqrt{x}}\).

Exempel 4 Derivera funktionen \(\sqrt{5-x^2}\).

Lösning

Vi skall bestämma \(D\sqrt{5-x^2} = D(5-x^2)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(5-x^2)^{\frac{1}{2}-1}\cdot(-2x) = -x(5-x^2)^{-\frac{1}{2}}=-\frac{x}{\sqrt{5-x^2}}\).

Exempel 5 Bestäm för funktionen \(f(x)=\sqrt{x+1}\) tangenten då \(x=1\).

Lösning

Vi börjar med att derivera, \(D\sqrt{x+1} = D(x+1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}-1}\cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\).

Riktningskoefficienten har värdet, \(f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{1+1}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\).

Tangenten går genom punkten \(1\) och \(f(1)=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\).

Ekvationen för en linje är, \(y-y_0=k(x-x_0)\). Tangentens ekvation är

\(\begin{array}{rll} y-\sqrt{2}=&\frac{1}{2\sqrt{2}}(x-1)\\ \\ y=&\frac{1}{2\sqrt{2}}x-\frac{1}{2\sqrt{2}}+^{2\sqrt{2})}\sqrt{2} \\ \\ =& \frac{1}{2\sqrt{2}}x+\frac{-1+4}{2\sqrt{2}} \\ \\ =& \frac{x}{2\sqrt{2}}+\frac{3}{2\sqrt{2}} &\text{ eller som }\\ \\ =& \frac{1}{2\sqrt{2}}(x+3).\\ \end{array}\)

Tangentens ekvation är \(y=\frac{1}{2\sqrt{2}}(x+3)\).

Exempel 6 Bestäm största och minsta värde för funktionen \(f(x)=\sqrt{4-x^2}+x\).

Lösning

Vi börjar med att bestämma då \(f\) är definierad då \(4-x^2\geq 0 \Leftrightarrow x^2 \leq 4 \Leftrightarrow -2\leq x \leq 2\).

Sedan tar vi och skriver om \(f(x)=\sqrt{4-x^2}+x=(4-x^2)^{\frac{1}{2}}+x\).

Derivatafunktionen är \(f'(x)=\frac{1}{2}(4-x^2)^{\frac{1}{2}-1}(-2x)+1=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}+1\).

Extremvärden hittar vi då \(f'(x)=0\):

\(\begin{array}{rcll} \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}+1 &=& 0 \\ \frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}&=&-1 &\mid \cdot \sqrt{4-x^2}\\ -x & = & -\sqrt{4-x^2} \\ x & = & \sqrt{4-x^2} &\mid (\quad)^2 \\ x^2 &=& 4-x^2 \\ 2x^2 & = & 4 \\ x^2 &=& 2 \\ x &=& \pm\sqrt{2}\\ \end{array}\)

Eftersom vi har kvadrerat, testar vi rötterna: \(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{4-(\sqrt{2})^2}}+1 = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+1 = 0\) och \(\frac{-(-\sqrt{2})}{\sqrt{4-(-\sqrt{2})^2}}+1 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+1 =2 \not=0\).

Alltså \(f'(x)=0\) då \(x=\sqrt{2}\).

Vi finner största och minsta värdet för funktionen då \(f'(x)=0\) eller i intervallets ändpunkter.

\(f(-2)= \sqrt{4-(-2)^2}-2 = -2\) \(f(\sqrt{2})= \sqrt{4-(\sqrt{2})^2}+\sqrt{2} = \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\)

\(f(2)= \sqrt{4-2^2}+2 = 2\).

Största värdet är \(2\sqrt{2}\).

Uppgifter

  1. Kombinera rätt rot med rätt sätt att skriva som allmän potens.

    Välj bland följande rötter: \(\sqrt{x}\), \(\sqrt[2]{x^3}\), \(\sqrt[3]{x}\), \(\sqrt[3]{x^2}\), \((\sqrt[3]{x})^4\), \(\sqrt[4]{x}\) och \(\sqrt[4]{x^3}\).

    \(=x^{\frac{1}{2}}\)
    \(=x^{\frac{1}{3}}\)
    \(=x^{\frac{1}{4}}\)
    \(=x^{\frac{3}{2}}\)
    \(=x^{\frac{2}{3}}\)
    \(=x^{\frac{3}{4}}\)
    \(=x^{\frac{4}{3}}\)
  2. Derviera \(\sqrt{5x}\).
  3. Derivera \(x\sqrt{2x}\).
  4. Derivera \(\frac{1}{2x\sqrt{x}}\).
  5. Derivera \(\sqrt{x^2-3}\).
  6. Derivera \(\sqrt{2x^2-1}\).
  7. Derivera \(\sqrt{3x^3+x^2-1}\).
  8. Bestäm tangenten för funktionen \(f(x)=\sqrt{x-1}\) då \(x=5\).
  9. Bestäm tangenten för funktionen \(f(x)=x\sqrt{x}\) som har riktningskoefficienten \(1\).
  10. Derivera funktionen \(f(x)=\sqrt[4]{x^2-x}\).
  11. Placera uträkningarna i rätt ordning så att uträkningen är logisk och korrekt.

    Bestäm största och minsta värde för \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\).

    Välj bland följande uträkningar:

    Definitionsmängden är \(4-x^2\geq 0\).

    Alltså \(-2\leq x \leq 2\).

    Derivatafunktionen är \(f’(x)=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}\).
    En funktion får sina största och minsta värden då \(f’(x)=0\) eller i intervallets ändpunkter. \(f(-2)=0\) \(f(0)=2\) \(f(2)=0\)
    \(f’(x)=0\) då \(x=0\). \(f’(x)=0\) då täljaren får värdet noll.

    Största värdet är 2.

    Minsta värdet är 0.

  12. Låt \(f(x)=\sqrt{-x^2-2x}\). För vilka värden på \(x\) byter \(f\) riktning?
  13. *Bestäm tangenten för funktionen \(f(x)=\sqrt{1-x^2}\) som har riktningsvinkeln \(60^{\circ}\).
  14. *Bestäm största och minsta värdet för funktionen \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-2}}\).
  15. *Visa att funktionen \(f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\) är strängt avtagande.