7. Tillämpningar av rotfunktionen

Till nästa tar vi och ser på tillämpningar där vi undersöker funktioner där vi har kvadratrötter.

Exempel 1 Från en ö som befinner sig 2,5 km från kusten skall man dra en elkabel till närmaste transformator i elnätet. Närmaste transformator befinner sig 7,0 km från ön då man följer strandlinjen. Att dra kabel genom havet kostar 35 €/m och att dra på land kostar 10 €/m. Bestäm hur man borde dra kabeln så att det kostar så litet som möjligt?

Exempel 2 Bestäm största värdet för funktionen \(f(x)=x\sqrt{6-x^2}\).

Uppgifter

  1. Annas morfar som bor i en stuga mitt i skogen. Till stugan kommer man längs en 4,5 km lång rak skogsstig. Från korsningen av skogsstigen och landsvägen finns en transformator på avståndet 12,5 km. Annas morfar vill ha el till stugan och behöver din hjälp så att det är så billigt för honom som möjligt. Det lokala elbolaget erbjuder att dra el genom skogen och längs med landsvägen. Att dra elkabel genom skogen kostar 20 €/m och att dra längs med landsvägen kostar 8 €/m. Vad kostar det som billigast?


  2. Anna, Bertil och Cecilia befinner sig i punkterna A, B och C på en sandplan. De tänker träffas i punkten P. Bestäm punkten P så att den totala sträckan som alla behöver flytta på sig är så kort som möjligt. Hur långt från B skall de träffas?

  3. Annas farmor bor på en ö som är 1,5 km väst från fastlandet. Rakt norrut längs med fastlandet finns ett postkontor på avståndet 6,0 km. Annas farmor ror med hastigheten 1,0 km/h och går med hastigheten 2,0 km/h. Bestäm den kortaste tid det tar för henne att föra post till postkontoret.
  4. Bestäm största värdet för funktionen \(f(x)=\sqrt{8-2x^2}\).
  5. Bestäm största och minsta värdet för funktionen \(f(x)=x\sqrt{8-x^2}\).
  6. *I en halvcirkel som representeras av funktionen \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\) ritas in en maximalt stor rektangel. Bestäm storleken av denna rektangel.

  7. *Man har reserverat 16 kvadratmeter tyg för ett tält som har formen av en rak cirkulär kon. Tyg används inte för tältets botten. Bestäm diametern för den cirkulära basytan då tältets volym är så stor som möjligt. [V15, 9]