8. Logaritmer

Tag och beskriv talen \(2\), \(4\), \(5\), \(\sqrt{2}\) och \(\frac{1}{8}\) som potenser med basen 2.

Logaritmen för talet \(a\) är den exponent \(x\) som basen \(b\) måste upphöjas i för att ha samma värde som \(a\).

\(a=b^x\)

För talet 1000 gäller att logaritmen är 3 i basen 10 eftersom \(1000=10^3\).

Vi kan skriva det som \(y=b^x \Leftrightarrow x=\log_b(y)\). Där \(b\) och \(y\) är positiva och \(b\not=1\).

Till exempel är \(4^3 = 64\), det betyder att för talet 64 är logaritmen 3 i basen 4. Det kan vi skriva som \(3=\log_4 (64)\).

Logaritmer introducerades av John Napier för att göra uträkningar simplare. I dagens läge med datorer så är nyttan inte lika stor som på tidigt 1600-tal men ännu används logaritmer då vi bestämmer pH hos ämnen eller då vi bestämmer ljudstyrkan.

Exempel 1 Bestäm logaritmen med basen 6 då

  • \(6^9\). Eftersom vi höjer talet 6 i 9 är basen 6 och exponenten 9. Logaritmen med basen 6 är 9.
  • \(216\). Talet \(216 = 6^3\). Logaritmen med basen 6 av talet 216 är 3.
  • \(1\). 1 kan vi skriva som \(1=6^0\). Logaritmen med basen 6 av talet 1 är 0.
  • \(\frac{1}{\sqrt{6}}\). \(\frac{1}{\sqrt{6}}=6^{-\frac{1}{2}}\). Logaritmen med basen 6 av talet \(\frac{1}{\sqrt{6}}\) är \(-\frac{1}{2}\).

När vi har logaritmer har vi vissa baser som används mera än andra. De baserna är \(2\), \(e\) och \(10\).

Basen Kallas för Logaritmen betecknas Används i
2 Binär logaritm \(\textrm{lb}\) Dataveteskaper, informationsteknologi, fotografering, musikteori
e Naturlig logaritm \(\ln\) Naturvetenskaper (matematik, fysik, kemi), statistik, ekonomi, informationsteknologi
10 Allmän logaritm \(\lg\) Logaritmiska tabeller, decibelskalan, Richterskalan, spektroskopi

Exempel 2 Bestäm \(\lg 2x-1=0\).

Lösning

Logaritmen är definierad då \(2x>0 \Leftrightarrow x>0\).

\(\lg 2x – 1=0 \Leftrightarrow \lg 2x = 1 \Leftrightarrow \lg 2x = \lg 10^1\) som ger oss att \(2x=10 \Leftrightarrow x=5\).

Sambandet mellan potenser och logaritmer är följande

\(y=b^x \Leftrightarrow x=\log_b(y)\), där \(b\) och \(x\) är positiva och \(b\not=1\).

För logaritmer gäller följande specialfall:

  • \(\log_a 1 =0\) eftersom \(a^0=1\)
  • \(\log_a a =1\) eftersom \(a^1=a\)

Uppgifter

  1. Välj rätt alternativ så att logaritmen med basen 3 stämmer då

    Påstående \(-7\) \(-3\) \(-1\) \(0\) \(5\) \(6\)
    \(3^5\)
    \(729\)
    \(1\)
    \(\frac{1}{3} \)
    \(\frac{1}{27} \)
    \(\frac{1}{3^7} \)
  2. Kombinera så att logaritmen med basen 5 blir rätt då

    Påstående \(-2\) \(-1\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(3\) \(4\)
    \(625\)
    \(\sqrt{5}\)
    \(\frac{1}{25}\)
    \(\frac{1}{5}\)
    \(125\)
    \(1\)
  3. Bestäm \(x\) då
    1. \(\log_3 x+4=0\)
    2. \(\log_6 x=1\)
    3. \(2\log_2 x-1=0\)
    4. \(3\log_3 x=-2\)
  4. Bestäm definitionsmängden för följande logaritmer.

    Påstående \(x>-1\) \(x>0\) \(x>1\)
    \(\log_3 (x+1)\)
    \(\log_7 (x+1)\)
    \(\ln (x-1)\)
    \(\text{lb } x\)
    \(\lg (x-1)\)
    \(\ln x\)
  5. Bestäm basen då
    1. \(\log_a 625 = 4\)
    2. \(\log_a 81 = 4\)
    3. \(\log_a 1024 = 5\)
  6. Uppgift
  7. *Uppgift
  8. *Uppgift