9. Beräkning med logaritmer

När vi räknar med logaritmer använder vi oss av följande formler:

\(\log_a x^r = r\cdot \log_a x\)

Motivering

Vi antar att \(s=\log_a x\). Enligt definitionen på logaritmer gäller då att \(x=a^s\).

Då gäller att \(x^r= (a^s)^r=a^{rs}\).

Alltså logaritmen med basen \(a\) av talet \(x^r\) är \(rs\).

Med andra ord \(\log_a x^r = r\log_a x\).

På motsvarande sätt kan vi genom att utnyttja potensregler som \(a^r\cdot a^s=a^{r+s}\) och att \(\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\) bestämma produkten och kvoter för logaritmer.

För följande räkneregler gäller att \(x, y >0\).

\(\log_a xy = \log_a x + \log_a y\) \(\log_a \frac{x}{y} = \log_a x – \log_a y\)

Motivering

Vi har att \(\log_a x =r\) och att \(\log_a y =s\). Per definition betyder det att \(x=a^r\) och att \(y=a^s\).

Med andra ord, \(xy=a^r\cdot a^s = a^{r+s}\).

Alltså logaritmen med basen \(a\) för talet \(xy\) är \(r+s\).

Med andra ord, \(\log_a xy = \log_a x + \log_a y\).

Och för kvoten gäller att \(\frac{x}{y}=\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}\).

Logaritmen med basen \(a\) för talet \(\frac{x}{y}\) är \(r-s\).

Med andra ord, \(\log_a \frac{x}{y}=\log_a x – \log_a y\).

Exempel 1 Bestäm \(\log_3 12 – \log_3 8 + \log_3 6\).

Lösning

\(\log_3 12 – \log_3 8 + \log_3 6 = \log_3 (\frac{12}{8}) + \log_3 6 = \log_3 (\frac{12\cdot6}{8}) =\log_3 9= \log_3 3^2 = 2\log_3 3 = 2\cdot 1=2\).

Exempel 2 Lös ekvationen \(2\lg 2x – \lg(x+5)=1\) .

Lösning

Logaritmerna är definierade då \(2x>0 \Leftrightarrow x>0\) och då \(x+5>0 \Leftrightarrow x>-5\).

\(2\lg 2x – \lg(x+5)=1 \Leftrightarrow \lg (2x)^2 -\lg(x+5) = 1 \Leftrightarrow \lg\frac{(2x)^2}{x+5} = 1 \Leftrightarrow \lg\frac{4x^2}{x+5} = \lg 10^1\) som ger oss att \(\frac{4x^2}{x+5} = 10\) som har rötterna \(x=-\frac{5}{2}\) och \(x=5\) .

Den rot som duger är \(x=5\).

Exempel 3 Förenkla \(\log \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{1}{2}\log b\)

Lösning

Beteckningen \(\log\) betyder att basen kan ha vilket värde som helst bara den är positiv och olika ett.

\(\log \frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{1}{2}\log b = \log a -\log \sqrt{b} + \log b^{\frac{1}{2}} = \log a – \log b^{\frac{1}{2}} + \log b^{\frac{1}{2}} = \log a\).

Sammanfattningsvis har vi följande regler

  • \(\log_a x^r = r\cdot \log_a x\)
  • \(\log_a xy = \log_a x + \log_a y\)
  • \(\log_a \frac{x}{y} = \log_a x – \log_a y\)

Uppgifter

  1. Bestäm \(\log_2 6 -\log_2 3 + \log_2 2 \).
  2. Bestäm \(\log_3 2 – \frac{1}{2} \log_3 36\).
  3. Placera uträkningarna i rätt ordning så att uträkningen är logisk och korrekt.

    Välj bland följande uttryck: \(=1\), \(=\log_4 16 -\log_4 (16)^{\frac{1}{2}}\), \(=2-1\) och \(=\log_4 16 -\log_4 4\).

    (1.)
    (2.)
    (3.)
    (4.)
  4. Placera uträkningarna i rätt ordning så att uträkningen är logisk och korrekt.

    Välj bland följande uttryck: \(=\log_2 (8\cdot 4)\), \(=\log_2 32\), \(\log_2 8 + \log_2 4\) och \(=5\).

    (1.)

    (2.)
    (3.)
    (4.)
  5. Lös ekvationen \(\log_2 x + \log_2 x = 2\).

  6. Bestäm \(\log\frac{a^2}{b}-2\log a\). Beteckningen \(\log\) betyder att basen kan vara vad som helst så att basen är positiv och olika ett.
  7. Lös ekvationen \(\log_3(x-1)+\log_3 (x-3) =1\).
  8. Lös ekvationen \(\log_2(4+x)+\log_2(2x)=3\).
  9. Lös ekvationen \(\frac{1}{2}\log_3 (8-x)=\log_3 (x+2)+1\).
  10. Placera uträkningarna i rätt ordning så att uträkningen är logisk och korrekt.

    För vilka värden på \(x\) gäller att \(\lg x +\lg (x-3) =1\).

    Välj bland följande uttryck: Alltså \(x^2-3x=10^1\), Definitionsmängderna är \(x>0\) och \(x>3\). Alltså \(x>3\) duger som rötter., \(\lg (x^2-3x) =1\), \(\lg x +\lg (x-3) =1\), Rotformeln ger \(x=-2\) och \(x=5\). och Svar \(x=5\).

    (1.)
    (2.)
    (3.)
    (4.)
    (5.)
    (6.)
  11. Lös ekvationen \(\log_2 (x+1) = \log_2 (x+5) +1\).
  12. *För vilket bas,\(a\), gäller att \(\log_a 2 + \log_a 5 =1\)?
  13. *För vilket bas,\(a\), gäller att \(\log_a 3 + \log_a 6 =\sqrt{2}\)?