1. Primitiv funktion

Visa att \(f(x)= 2x+4\) är derivatafunktion för \(F(x)=(x+2)^2\).

Lösning

\(F(x)=(x+2)^2=x^2+4x+4\). Derivatafunkitionen är \(F'(x)=2x+4 =f(x)\).

Exempel 1 Bestäm andra funktioner vars derivatafunktion är \(f(x)=2x+4\).

De funktioner som uppfyller villkoret \(f(x)=F'(x)\) är de primitiva funktionerna, \(F(x)\), för funktionen \(f(x)\). Funktionen \(f(x)\) har oändligt många primitiva funktioner.

Exempel 2 Bestäm alla primitiva funktioner för \(f(x)= 6x^2-4x\).

Lösning

En primitiv funktion för \(f(x)\) är \(F(x)=2x^3-2x^2\). Vi kan addera till en konstant eftersom derivatan av en konstant har värdet noll.

Alla primitiva funktioner är \(F(x)=2x^3-2x^2+C\).

En primitiv funktion för \(f(x)\) är \(F(x)\) där \(F'(x)=f(x)\). Alla primitiva funktioner får vi genom att addera till en konstant, \(C\). Alla primitiva funktioner för \(f(x)\) är \(F(x)+C\).

Exempel 3 Bestäm den primitiva funktion för \(f(x)=\sin x\) som går genom punkten \((0,1)\) .

Lösning

\(F(x)=-\cos x + C\) eftersom \(F'(x)=\sin x\). Då \(F(x)\) skall gå genom punkten \((0,1)\) betyder det att \(F(0) = 1\), alltså \(-\cos 0 + C = 1 \Leftrightarrow C=2\).

Den sökta primitiva funktionen är \(F(x)=-\cos x +2\).

Uppgifter

  1. Välj de primitiva funktionerna för \(f(x)=4x^3 -4x\) och \(g(x)=3x^2+1\).
    Påstående \(f(x)=4x^3 -4x\) \(g(x)=3x^2+1\) Varken \(f(x)\) eller \(g(x)\).
    \(h(x)= x^4-2x^2 +2\)
    \(i(x)= x^4-2x^2 -1\)
    \(j(x)= 12x^2-4\)
    \(k(x)= x^4-2x^2\)
    \(l(x)= x^3+x+2\)
    \(m(x)= x^3-x\)
    \(n(x)= x^3+x\)
    \(o(x)= 6x\)
    \(p(x)= x^3+x-1\)
    \(q(x)= 4x^3-4x\)
  2. Kombinera rätt primitiv funktion med rätt funktion.
    Välj bland följande primitiva funktioner

    så att de får rätt funktion.

    Primitiv funktion Funktion
  3. Bestäm alla primitiva funktioner för funktionen \(f(x)=6x-2\).
  4. Bestäm alla primitiva funktioner för funktionen \(f(x)=e^x\).
  5. Bestäm alla primitiva funktioner för funktionen \(f(x)=\frac{3}{x^2}\).
  6. Visa att \(F(x)=\frac{1}{x}\) är en primitiv funktion för funktionen \(f(x)=-\frac{1}{x^2}\).
  7. Visa att \(F(x)=x\ln(x)-x\) är en primitiv funktion för funktionen \(f(x)=\ln x\).
  8. Visa att \(F(x)=\frac{1}{2}\cos^2 x\) är en primitiv funktion för funktionen \(f(x)=-\sin(x)\cos(x)\).
  9. Bestäm den primitiva funktion för \(f(x)=3x^2-8x\) som går genom punkten (1,-1).
  10. Bestäm den primitiva funktion för \(f(x)=\frac{-2}{(x-1)^2}\) som går genom punkten (2,2).