10. Arean mellan två funktioner

Bestäm arean som bildas mellan \(f(x)=x^2-3x+3\) och \(g(x)=-x+6\).

Lösning

Området som bildas är skillnaden mellan \(\int -x+6 \mathrm{ d}x\) och \(\int x^2-3x+3\mathrm{ d}x\).

Vi behöver skärningspunkterna,
\(\begin{array}{rcl} f(x) &=& g(x) \\ x^2-3x+3 &=& -x+6 \\ x^2 -2x-3 &=& 0 \\ x &=& \frac{2\pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot 1 (-3)}}{2\cdot 1} \\ x &=& \frac{2\pm 4}{2}\\ \end{array}\)

Skärningspunkterna är \(x=-1\) och \(x=3\).

Arean är
\(\begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{-1}^3 -x+6 \mathrm{ d}x -\displaystyle\int_{-1}^3 x^2-3x+3 \mathrm{ d}x &=& \displaystyle\int_{-1}^3 -x+6 -(x^2-3x+3) \mathrm{ d}x\\ &=& \displaystyle\int_{-1}^3 -x^2+2x+3 \mathrm{ d}x \\ &=& \bigg/_{-1}^3 -\frac{1}{3}x^3+x^2+3x \\ &=& (-\frac{1}{3}\cdot 3^3+3^2+3\cdot 3)- (-\frac{1}{3}\cdot (-1)^3+(-1)^2+3\cdot (-1))\\ &=& 9-(-1\frac{2}{3}) = 10\frac{2}{3}\\ \end{array}\)

Då vi bestämmer arean mellan två funktioner, \(f(x)\) och \(g(x)\) i intervallet \([a,b]\) där \(f(x)>g(x)\) räknar vi som \(A=\int_a^b f(x)-g(x) \mathrm{ d}x\).

Om det är så att en del av den gemensamma arean blir under \(x\)-axeln kan vi flytta funktionerna uppåt genom att addera till ett \(n\).

Storleken av arean ändras inte genom att vi flyttar funktionerna uppåt. Vi får då att \(\int_a^b (f(x)+n)-(g(x)+n) \mathrm{ d}x = \int_a^b f(x)+n -g(x)-n \mathrm{ d} x = \int_a^b f(x)-g(x) \mathrm{ d} x\).

Exempel 1 Mellan \(f(x)=\sin 2x\) och \(g(x)=\cos 2x\) uppstår oändligt många areor. Bestäm storleken av en area.

Lösning

Funktionerna beter sig som följande:

Först söker vi skärningspunkterna,
\(\begin{array}{rcll} \sin 2x &=& \cos 2x &| /\cos2x\not=0 \\ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} &=& 1 \\ \tan 2x &=& 1\\ 2x &=& \frac{\pi}{4} + n\cdot \pi\\ x &=& \frac{\pi}{8} + n\cdot \frac{\pi}{2}, n\in \mathbf{Z}\\ \end{array}\)

En area bildas mellan skärningspunkterna \(\frac{\pi}{8}\) och \(\frac{\pi}{8} + 1 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{8}\).

Arean är
\(\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{5\pi}{8}} \sin 2x – \cos 2x \mathrm{ d} x &=& \displaystyle \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{5\pi}{8}} \frac{1}{2}\cdot 2\sin 2x – \frac{1}{2}\cdot 2\cos 2x \mathrm{ d} x \\ &=& \frac{1}{2}\displaystyle \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{5\pi}{8}} 2\sin 2x – 2\cos 2x \mathrm{ d} x \\ &=& \frac{1}{2}\bigg/_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{5\pi}{8}} -\cos2x -\sin 2x \\ &=& -\frac{1}{2}\bigg/_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{5\pi}{8}} \cos2x +\sin 2x \\ &=& -\frac{1}{2}[ (\cos 2\cdot \frac{5\pi}{8} + \sin 2\cdot\frac{5\pi}{8})-(\cos 2\cdot \frac{\pi}{8} + \sin 2\cdot\frac{\pi}{8})] \\ &=& -\frac{1}{2}[(-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}})-(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}})] \\ &=& -\frac{1}{2}(-\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{2}})\\ &=& -\frac{1}{2}\cdot (-\frac{4}{\sqrt{2}}) \\ &=& \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \approx 1,41 \\ \end{array}\)

Uppgifter

  1. Bestäm storleken av arean som uppstår mellan \(f(x)=-x^2+5x+1\) och \(g(x)=2x+1\) i intervallet \([1,3]\).
  2. Bestäm storleken av arean som uppstår mellan \(f(x)=-x^2+5x\) och \(g(x)=-x+5\).
  3. Bestäm storleken av arean som uppstår mellan \(f(x)=-x^2+2x+4\) och \(g(x)=x^2-4x+4\).
  4. Bestäm storleken av arean som uppstår mellan \(y=e^{-x}\), \(y=e^{\frac{x}{2}}\) och \(x=3\).
  5. För vilket värde på konstanten \(a\) gäller att det området som bestäms av \(f(x)=ax\) och \(g(x)=x^2\) har värdet 36?
  6. Bestäm storleken av arean som uppstår mellan \(f(x)=-x+3\) och \(g(x)=\frac{1}{x}\).
  7. Bestäm storleken av området som bildas mellan \(y=x^2\), tangenten för \(y=x^2\) i punkten \((1,1)\) och \(y\)-axeln.
  8. Ett område bestäms av \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), \(g(x)=\frac{1}{x^3}\) och linjerna \(x=a\) och \(x=2a\) där \(a>0\). För vilket värde på \(a\) har området ett så stort värde som möjligt?