11. Rotationskroppar

Vi tar först och bestämmer volymer som bildas när funktioner roterar kring axlar. Efter det tar vi och bestämmer volymer allmännare plan.

Grafen för funktionen \(f(x)=\frac{1}{2}x^2 +1\) i intervallet \([1,3]\) roterar kring \(x\)-axeln. Bestäm volymen för den kropp som uppstår.

Lösning

Då \(f(x)=\frac{1}{2}x^2+1, x\in [1,3]\) roterar kring \(x\)-axeln får vi följande figur.

Vi tänker oss att volymen består av många skivor med en viss radie. Det vi gör är att adderar ihop dessa skivor för att få volymen.

Radien för en skiva är avståndet från \(x\)-axeln till punktens \(y\)-koordinat, alltså \(\frac{1}{2}x^2+1 = f(x)\). Arean för en skiva är \(\pi r^2\), alltså \(\pi (\frac{1}{2}x^2+1)^2 =\pi f(x)^2\).

För att addera ihop alla oändliga skivor integrerar vi från 1 till 3. Volymen blir
\(\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_1^3 \pi f(x)^2 \mathrm{ d} x &=& \pi \displaystyle\int_1^3 (\frac{1}{2}x^2+1)^2 \mathrm{ d} x \\ &=& \pi \displaystyle\int_1^3 \frac{1}{4}x^4+ x^2 + 1 \mathrm{ d} x \\ &=& \pi \bigg/_1^3 \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{5}x^5 +\frac{1}{3}x^3 + x \\ &=& \pi [(\frac{1}{20}\cdot 3^5 +\frac{1}{3}\cdot 3^3 + 3)-(\frac{1}{20}\cdot 1^5 +\frac{1}{3}\cdot 1^3 + 1)] \\ &=& \pi (\frac{283}{20} – \frac{83}{60})\\ &=& \frac{683}{30} \pi \approx 71,5 \\ \end{array}\)

Då vi bestämmer volymen för en rotationskropp som uppstår då \(f(x)\) roterar i intervallet \([a,b]\) kring \(x\)-axeln får vi \(V=\pi \int_a^b f(x)^2 \mathrm{ d} x\).

Exempel 1 Funktionen för \(f(x)=e^{\frac{x}{4}}\) roterar kring \(y=1\). Bestäm volymen som uppstår i intervallet \([0,2]\).

Lösning

Vi har följande situation.

Radien som uppstår för kroppen vi rotationen har radien \(e^{\frac{x}{4}}-1\). Volymen är
\(\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_0^2 \pi (e^{\frac{x}{4}}-1)^2 \mathrm{ d}x &=& \pi \displaystyle \int_0^2 e^{\frac{x}{2}}-2e^{\frac{x}{4}}+1 \mathrm{ d}x \\ &=& \pi \displaystyle \int_0^2 2\cdot\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}-2\cdot 4\cdot\frac{1}{4}e^{\frac{x}{4}}+1 \mathrm{ d}x \\ &=& \pi \bigg/_0^2 2e^{\frac{x}{2}}-8e^{\frac{x}{4}}+x\\ &=& \pi[(2e^{\frac{2}{2}}-8e^{\frac{2}{4}}+2)-(2e^{\frac{0}{2}}-8e^{\frac{0}{4}}+0)] \\ &=& \pi [(2e-8\sqrt{e}+2)-(2-8-0)]\\ &=& \pi(2e-8\sqrt{e}+8) \approx 0,76\\ \end{array}\)

Då funktionen \(f(x)\) roterar i intervallet \([a,b]\) kring linjen \(y=c\) blir arean av en skiva \(\pi (f(x)-c)^2\). Volymen för rotationskroppen blir \(\pi \int_a^b (f(x)-c)^2 \mathrm{ d}x\).

Exempel 2 Funktionen \(y=x^3\) roterar kring \(y\)-axeln. Bestäm volymen som bildas i intervallet då \(x\in[-1,2]\).

Lösning

Vi har följande situation:

För att kunna integrera med avseende på \(y\) måste vi skriva funktionen som \(f(y)=\ldots\).

Eftersom
\(\begin{array}{rcl} f(x)&=&x^3 \\ y &=& x^3 \\ x &=& \sqrt[3]{y} \\ \end{array}\)
Eftersom vi har en funktion där \(f(y) = \sqrt[3]{y}\) måste vi veta intervallet på \(y\)-axeln. Då \(f(-1)=-1\) och \(f(2)=8\) är intervallet \([-1,8]\) som vi intergrerar i.

Volymen är
\(\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{-1}^8 \pi (\sqrt[3]{y})^2 \mathrm{ d} y &=& \pi \displaystyle \int_{-1}^8 y^{\frac{2}{3}} \mathrm{ d}y \\ &=& \pi \bigg/_{-1}^8 \frac{1}{1+\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{3}+1} \\ &=& \pi \bigg/_{-1}^8 \frac{3}{5} y^{\frac{5}{3}} \\ &=& \frac{3\pi}{5} \bigg/_{-1}^8 (\sqrt[3]{y})^5 \\ &=& \frac{3\pi}{5} (\sqrt[3]{8}^5-\sqrt[3]{-1}^5) \\ &=& \frac{3\pi}{5} (2^5 -(-1)^5) \\ &=& \frac{3\pi}{5} \cdot 33 \\ &=& \frac{99\pi}{5} \approx 62,2 \\ \end{array}\)

Uppgifter

  1. Bestäm volymen som bildas i intervallet \([1,4]\) då \(f(x)=\frac{1}{2}x+1\) roterar kring \(x\)-axeln.
  2. Bestäm volymen som bildas i intervallet \([0,2]\) då \(f(x)=\frac{1}{4}x^2+1\) roterar kring \(x\)-axeln.
  3. Bestäm volymen som bildas i intervallet \([1,3]\) då \(f(x)=e^x+1\) roterar kring \(x\)-axeln.
  4. Bestäm volymen som bildas i intervallet \([1,3]\) då \(f(x)=\frac{1}{x}+1\) roterar kring \(y=2\).
  5. Bestäm volymen som bildas i intervallet \([-1,2]\) då \(f(x)=\frac{1}{4}x^2+x\) roterar kring \(y=1\).
  6. Funktionen \(f(x)=\frac{1}{4}x^2 +\frac{1}{4}\) roterar kring \(x\)-axeln. För vilket värde på \(a\) gäller att volymen som bildas i intervallet \([0,a]\) har ett värde som är större än 4,92?
  7. Bestäm volymen av den kropp som bildas då \(f(x)=x^2\) roterar kring \(y\)-axeln då \(x\in [0,2]\).
  8. Bestäm volymen av den kropp som bildas då \(f(x)= \ln x , x\in [1,e]\) roterar kring \(y\)-axeln.
  9. Bestäm volymen för ett klot med radien \(r\).