12. Allmänna volymer

Som det sista behandlar vi ännu volymer där tvärsnittsarean bildas av en funktion. Denna funktion integrerar vi över ett intervall för att få volymen för kroppen.

Exempel 1 Ett museum ser uppifrån ut som en cirkel med diametern 100 m. Tvärsnitten för muséet är rektanglar som är dubbelt så breda som höga. Bestäm volymen för museet.

Lösning

Från sidan ser det ut som

och uppifrån som

Arean för ett tvärsnitt är \(A(x)= \sqrt{50^2-x^2}\cdot 2\sqrt{50^2-x^2} = 2(50^2-x^2)\).

Volymen är
\(\begin{array}{rcl} \displaystyle\int_{-50}^{50} A(x) \mathrm{ d} x &=& 2\displaystyle\int_0^{50} A(x) \mathrm{ d} x \\ &=& 2\displaystyle\int_0^{50} 2(50^2-x^2) \\ &=& 4\displaystyle\int_0^{50} 50^2-x^2 \\ &=& 4\bigg/_0^{50} 2500x-\frac{1}{3}x^3 \\ &=& 4 [(2500\cdot 50-\frac{1}{3}\cdot 50^3)-(2500\cdot 0-\frac{1}{3}\cdot 0^3)]\\ &=& 333333,33 \text{ m}^3 \\ &\approx & 330000 \text{ m}^3\\ \end{array}\)

Exempel 2 Bestäm volymen för en pyramid med bottensidan \(a\) och höjden \(h\) .

Lösning

Vi tar och tänker oss pyramiden i ett koordinatsystem, där toppen är i origo och bottenarean är på avståndet \(a\). Pyramidens volym består av oändligt många kvadratiska skivor, där den nedersta har arean \(a^2\).

Vi kan addera ihop dessa kvadratiska sidor med hjälp av integrering från \(0\) till \(h\).

På ett visst avstånd \(x\) gäller att höjden \(y\) är likformig med \(a\) och \(h\). Vi får att \(\frac{A(x)}{a^2}=\frac{x^2}{h^2} \Leftrightarrow A(x)=\frac{x^2a^2}{h^2}\).

Volymen är \(\int_0^h A(x) \mathrm{ d} x = \int_0^h \frac{a^2}{h^2} x^2 \mathrm{ d} x = \frac{a^2}{h^2} \bigg/_0^h \frac{a^2}{h^2} \frac{1}{3}x^3 =\frac{a^2}{h^2}(\frac{1}{3}\cdot h^3 -\frac{1}{3}\cdot 0^2) = \frac{1}{3}ha^2\).

För att bestämma volymer med hjälp av integraler behöver vi en funktion som anger arean vid en bestämd punkt. Sedan är det bara att integrera. Volymen får vi som

\(\int_a^b A(x)\mathrm{ d}x\).

Uppgifter

  1. Tvärsnitten för en vas består av kvadratiska skivor där sidan har längden \(3+\sqrt{x}\) på höjden \(x\) cm. Bestäm vasens volym då den är 25 cm hög.
  2. Formen för en kropp följer kurvan \(\frac{4}{x}\) då \(1\leq x \leq 4\) så att tvärsnittsarean bildar liksidiga trianglar där höjden är \(\frac{4}{x}\). Bestäm volymen för kroppen.
  3. Tvärsnittet av ett tält är en likbent triangel där basen är är en och en halv gånger så lång som höjden. Tältet är 3,0 m långt och gavlarna har höjden 1,0 m och 1,5 m. Takåsen i tältet har formen av en parabel med toppen i den lägre gavelns hörn.

    Beräkna tältets volym i liter.


  4. Härled volymen för en rak cirkulär kon.
  5. Längderna för sidorna för en matförpackning med kvadratiska tvärsnittsareor följer funktionen \(x+5\). Bestäm höjden för förpackningen med en mm noggrannhet då man vill att den skall rymma 4,5 dl.