2. för polynomfunktioner

Då vi skapar primitiva funktioner integrerar vi. Till nästa tar vi och går igenom hur vi integrerar olika typer av funktioner.

Integrering av en polynomfunktion sker på följande sätt: \(\int x^n \textrm{ d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\) där \(n\not=-1\).

Formeln kontrollerar vi genom att derivera: \(D(\frac{1}{n+1}x^{n+1})=\frac{1}{n+1}Dx^{n+1}=\frac{1}{n+1}\cdot (n+1)x^{n+1-1} = x^n\).

Rötter och bråk uttrycker vi med hjälp av allmän exponent och integrerar dem sedan.

Exempel 1 Bestäm den primitiva funktionen för

  1. \(x^{15}\)
  2. \(\frac{1}{x^3}\)
  3. \(\sqrt{x}\)

Lösning

  1. \(\int x^{15} \textrm{d}x = \frac{1}{15+1}x^{15+1}+C = \frac{1}{16}x^{16} + C\).
  2. \(\int \frac{1}{x^3} \textrm{d}x = \int x^{-3} \textrm{d}x = \frac{1}{-3+1}x^{-3+1} + C = -\frac{1}{2x^2} + C\).
  3. \(\int \sqrt{x} \textrm{d}x = \int x^{\frac{1}{2}} \textrm{d}x = \frac{1}{\frac{1}{2}+1} x^{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C = \frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\).

Eftersom integrering och derivering hör ihop har vi motsvarande räkneregler.

Vi kan flytta ut konstanter från en integral. Låt \(k\) vara en konstant och \(f(x)\) en kontinuerlig funktion. Då gäller att \(\int k f(x) \textrm{d}x = k\int f(x)\textrm{d}x,\) eftersom \(DkF = kDF=kf\).

Vidare tar vi och integrerar termer skilt för sig. Låt \(f(x)\) och \(g(x)\) vara två kontinuerliga funktioner. Då gäller att \(\int (f(x)+g(x))\textrm{d}x = \int f(x)\textrm{d}x + \int g(x)\textrm{d}x,\) eftersom \(D(F+G)=DF+DG = f +g\).

För integrering av polynomfunktioner gäller

  • \(\int x^n \textrm{d}x = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C\) där \(n\not= -1\)

Allmänt gäller för integrering att

  • \(\int k f(x) \textrm{d}x = k\int f(x) \textrm{d}x\)
  • \(\int (f(x)+g(x))\textrm{d}x = \int f(x)\textrm{d}x + \int g(x)\textrm{d}x\)

Exempel 2 Bestäm de primitiva funktionerna för

  1. \(\frac{3}{5\sqrt{x}}\)
  2. \(2x^3+4x-\frac{6}{x^2}\)

Lösning

  1. \(\int \frac{3}{5\sqrt{x}} \textrm{d}x =\int \frac{3}{5} x^{-\frac{1}{2}} \textrm{d}x = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}+1}x^{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{3}{5}\cdot 2 x^{\frac{1}{2}} +C = \frac{6}{5} \sqrt{x} +C\).
  2. Vi får
    \(\begin{array}{rcl} \displaystyle\int 2x^3+4x-\frac{6}{x^2} \textrm{d}x& =& \displaystyle\int 2x^3+4x-6x^{-2} \textrm{d}x \\ \\ &= &2\frac{1}{3+1}x^{3+1}+4\frac{1}{1+1}x^{1+1}-6\frac{1}{-2+1}x^{-2+1} + C \\ \\ &=& \frac{1}{2}x^4 + 2x^2+\frac{6}{x} + C\\ \end{array}\)

Uppgifter

  1. Bestäm \(\int 6x^{11} \textrm{ d}x\).
  2. Bestäm \(\int (2x^3+6x-3)\textrm{ d}x\).
  3. Bestäm \(\int x\sqrt{x}\textrm{ d}x\).
  4. Bestäm \(\int \sqrt[3]{x} \textrm{ d}x\).
  5. Bestäm alla primitiva funktioner för \(\frac{2}{\sqrt{x}}\).
  6. Bestäm alla primitiva funktioner för \((x-\frac{1}{x})^2\).
  7. Bestäm den primitiva funktion för \(f(x)= 8x+\frac{2}{x^3}\) som får värdet 5 då x = 1.
  8. Låt \(f(x)=4x\) och \(g(x)=2x^3\).
    1. Bestäm \(F(x)\) och \(G(x)\).
    2. Undersök om produkten av \(F(x)\) och \(G(x)\), \(F(x)G(x)\), är den primitiva funktionen av produkten av \(f(x)\) och \(g(x)\), \(8x^4\).
    3. Undersök om kvoten av \(F(x)\) och \(G(x)\), \(\frac{F(x)}{G(x)}\), är den primitiva funktionen av kvoten av \(f(x)\) och \(g(x)\), \(\frac{2}{x^2}\).
  9. Bestäm den primitiva funktionen för \(\frac{8x^6-3x+4}{2x^3}\).
  10. Bestäm den funktion vars största värde är 11 och vars derivatafunktion är \(f'(x)=-2x+6\).

    Tips: Vilket är sambandet mellan primitiv funktion och derivatafunktion?

  11. Bestäm den funktion som har följande egenskaper, \(f”(x)=48x^2-6\),\(f'(1)=10\) och \(f(1)=-1\).