3. för 1/x

Från differentialkalkylen har vi att \(D\ln \mid x \mid=\frac{1}{x}\). Då vi opererar med integralen på bägge led får vi att\(\begin{array}{rcll} \displaystyle \int D \ln \mid x \mid \mathrm{ d}x&=&\displaystyle \int \frac{1}{x} \mathrm{ d}x &\text{Integrering och derivering tar ut varandra.}\\ \\ \ln \mid x \mid &=& \displaystyle \int \frac{1}{x} \mathrm{ d}x\\ \end{array}\)

Exempel 1 Bestäm \(\int \frac{1}{4x} \mathrm{ d}x\).

Lösning

\(\int \frac{1}{4x} \mathrm{ d}x = \int \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{x} \mathrm{ d}x = \frac{1}{4}\ln \mid x \mid +C\).

För integrering av \(\frac{1}{x}\) gäller

  • \(\int \frac{1}{x} \mathrm{ d}x = \ln \mid x \mid +C \)

Exempel 2 Bestäm den primitiva funktion för \(f(x)=\frac{1}{x}\), där \(x<0\), som i punkten \(-e\) har värdet \(2\).

Lösning

\(\begin{array}{rcll} \displaystyle \int \frac{1}{x} \mathrm{ d}x &=& \ln \mid x \mid + C &\text{Eftersom }x<0 \text{ så är } \mid x \mid -x \\ &=& \ln(-x)+C \\ \end{array}\)
Eftersom den primitiva funktionen skall ha värdet 2 i punkten \(-e\) får vi att
\(\begin{array}{rcl} \ln (-(-e)) + C &=& 2 \\ \ln e +C &=& 2 \\ 1 + C &=& 2 \\ C &=& 1\\ \end{array}\)
Den primitiva funktionen är \(\ln(-x) + 1\) där \(x<0\).

Uppgifter

  1. Integrera \(\frac{1}{7x}\).
  2. Bestäm den primitiva funktionen för \(\frac{2}{3x}\).
  3. Integrera \(\frac{2}{5x}\) där \(x>0\).
  4. Integrera \(\frac{3}{8x}\), där \(x<0\).
  5. Bestäm den primitiva funktion för \(\frac{1}{2x}\) som går genom punkten (1,3).
  6. Bestäm den primitiva funktion för \(\frac{-x+3}{x}\) där \(x>0\) vars största värde är \(3\ln(3) -1\).
  7. Bestäm den primitiva funktion för \(\frac{5x-5}{x}\) som tangerar linjen \(y=3\) då \(x>0\).