4. för exponentialfunktioner

Den primitiva funktionen för \(f(x)=e^x\) är \(\int e^x \mathrm{ d}x =e^x +C\) eftersom \(De^x = e^x\).

I differentialkalkylen hade vi kedjeregeln \(Df(g)=f'(g)g’\) som vi tillämpade på exponentialfunktionen med basen \(e\) och fick att \(De^{f(x)}=f'(x)\cdot e^{f(x)}\).

Då vi opererar med integrering på bägge sidor får vi att

\(\begin{array}{rcll} \displaystyle \int De^{f(x)} \mathrm{ d}x&=&\displaystyle \int f'(x) \cdot e^{f(x)}\mathrm{ d}x \\ \displaystyle \int f'(x)\cdot e^{f(x)}\mathrm{ d}x &=&e^{f(x)} +C\\ \end{array}\)

Exempel 1 Bestäm \(\int xe^{x^2}\mathrm{ d}x\).

Lösning

Vi har att \(Dx^2=2x\). För att kunna integrera \(xe^{x^2}\) måste vi korrigera med en koefficient.

Vi använder oss av \(\displaystyle \int f'(x)=e^{f(x)}\mathrm{ d}x =e^{f(x)} +C\).

Vi får
\(\begin{array}{rcll} \displaystyle \int xe^{x^2} \mathrm{ d}x &= & &\text{ Vi korrigerar med } 2\cdot \frac{1}{2} \\ &=& \frac{1}{2}\displaystyle \int 2xe^{x^2} \mathrm{ d}x &\text{ Vi använder oss av }\displaystyle \int f'(x)=e^{f(x)}\mathrm{ d}x =e^{f(x)} +C\\ &=& \frac{1}{2}e^{x^2}+C \\ \end{array}\)

Exponentialfunktioner integrerar vi som

  • \(\int e^x \mathrm{ d}x =e^x +C\)
  • \(\int f'(x)\cdot e^{f(x)}\mathrm{ d}x =e^{f(x)} +C\)

Exempel 2 För en funktion \(f\) vet vi att \(f'(x)=e^{2x}\). Dessutom vet vi att minsta värdet för funktionen närmar sig 1. Bestäm \(f(x)\).

Lösning

Vi får att \(f(x)=\int f'(x) \mathrm{ d}x = \int e^{2x} \mathrm{ d}x = \frac{1}{2}\int 2e^{2x} \mathrm{ d}x = \frac{1}{2}e^{2x}+C\).

Alla exponentialfunktioner har samma form, se bild, som betyder att grundformen \(f(x)=e^x\) inte kommer att uppnå sitt minsta värde men endast närma sig det. \(f(x)=e^x\):s minsta värde närmar sig 0.

För vår funktion betyder det att vi skall lyfta upp värdena ett steg. Det gör vi genom att addera till en etta.

Vi får alltså \(f(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+1\).

Uppgifter

  1. Bestäm
    1. \(\int 3e^x \mathrm{ d}x\)
    2. \(\int 5e^x \mathrm{ d}x\)
    3. \(\int 2e^x \mathrm{ d}x\)
  2. Kombinera rätt par av tal så att produkten blir 1. Välj bland \(\frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}\) och \(\frac{3}{2}\).
    Ena talet här andra här
    2
    3
    4
    \(\frac{2}{3}\)
    \(\frac{4}{3}\)
  3. Bestäm
    1. \(\int e^{2x} \mathrm{ d}x\)
    2. \(\int e^{5x} \mathrm{ d}x\)
    3. \(\int x e^{x^2} \mathrm{ d}x\)
    4. \(\int x^2e^{x^3} \mathrm{ d} x\)
    5. \(\int x e^{3x^2} \mathrm{ d}x\)
  4. Bestäm den primitiva funktionen för
    1. \(2xe^{4x^2}\)
    2. \(\frac{1}{4}e^{2x}\)
    3. \(2x^2 e^{2x^3}\)
    4. \(\frac{x^4}{10} \cdot e^{4x^5}\)
  5. Bestäm den primitiva funktionen för \(\frac{1- e^x}{e^x}\).